Обратная матрица

Определение 19: Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называетсятранспонированнойматрицей относительно данной, и обозначается.

Пример 10:

Пример 11:

Определение 20: Обратнoй матрицей к квадратной

матрице А называется квадратная матрица ,

удовлетворяющая условию .

Действия умножения матриц, в общем случае,

не подчиняется переместительному закону распределения, т.е.

Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела себе обратную необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не вырожденная, т.е. определитель отличен от нуля.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1.

2. транспонировать матрицу А

3. вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы

4.составляем матрицу А*(союзная или присоединенная)

5.

Пример 12:Найти обратную матрицу для матрицы

А=

Решение: Т.к. определитель равен , то обратная матрица имеет место быть.

Транспонируем матрицу

Вычислим все алгебраические дополнения

транспонированной матрицы

Т.о. союзная матрица имеет вид

Обратная матрица имеет вид .

Замечание: иногда обратную матрицу записывают.

Пример 13: При каких значениях  матрица не имеет обратную?

Решение: Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица не имеет обратной. Нужно вычислить определитель данной матрицы и приравнять его к нулю. Получим уравнение первого порядка, из которого и найдем значение

илиследовательно

Пример 14: При каких значениях  матрицы

и перестановочны?

Сравнив матрицы С и D, находим.

Пример 15: Вычислить

Найдем матрицу

Затем найдем матрицу

§3. Матричная запись и матричное решение систем линейных уравнений.

Пусть дана (6)

, где матрица А=- основная матрица системы.

Х=- матрица-столбец неизвестных

В=- матрица-столбец свободных членов.

Очевидно (7) - матричное уравнение системы.

Если , то система (7) решается следующим образом

.Перепишем его в другом виде

(т.к.- единичная матрица), то

(т.к.), то- решение системы (7)

Пример 16:Решить систему матричным методом

Решение:А=В=Х=

Т.к. обратная матрица уже найдена в примере№12, то

=

Пример 17: Решить матричное уравнение:

Решение: Составим это уравнение в буквенной форме

, его решение разобрано чуть выше.

Найдем обратную для матрицы А.

, т.к.,то.

§4. Системы линейных уравнений.

Определение 21: Системойmлинейных уравнений сnнеизвестныминазывается система вида:

(6)

, где - коэффициенты при неизвестных (числа);

- свободные коэффициенты (числа).

Система линейная, т. к. все иксы в первой степени.

Определение 22:Линейная система (6) называетсянеоднородной, если среди свободных коэффициентов хотя бы один отличен от нуля. Если все свободные коэффициенты равны нулю, то система называетсяоднородной.

Определение 23: Решением линейной системы (6) называется упорядоченная совокупность чиселподстановка которых вместообращает в тождество каждое из уравнений системы.

Определение 24:Система, имеющая хотя бы одно решение, называетсясовместной. Система, не имеющая ни одного решения, называетсянесовместной.

Формулы Крамера.

Рассмотрим систему

Определение 25:Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называетсяглавным определителем системы.

Составим определитель Δ₁=

Назовем его первый вспомогательный определитель системы. Аналогично

Δ₂=и Δ₃=.

- называются формулы Крамера (8)

Замечание:Формулы Крамера верны и для системыn-го порядка, но только для квадратной системы.