Бычков 3 курс 2 семестр все лабы / ЗАДАНИЕ / лр1maple

3

Лабораторная работа № 1

«Выполнение численных и аналитических расчетов в системе Maple»

Цель работы: изучить возможности системы Maple для решения математических задач теории надежности.

Форма отчета: отчет в письменной форме должен содержать тему лабораторной работы, ее цель, формулировки заданий, текст файла Maple с промежуточными выкладками, полученными результатами и соответствующими комментариями. Результаты расчетов оформить в виде таблицы.

Задание 1.

Вычислить пределы:

Методические указания.

Задачи, решаемые при расчете надежности информационных систем, в конечном счете сводятся к решению определенного набора математических задач: вычислению пределов, вычислению интегралов, решению систем линейных уравнений, решению систем дифференциальных уравнений первого порядка. Часть задач решается аналитически, остальные могут

4

быть решены с помощью различных численных методов. Система вычислений Maple предоставляет, в этой связи, весьма широкие возможности. Maple – интегрированная система, она позволяет выполнять как численные, так и аналитические математические расчеты, имеет удобный интерфейс и обеспечивает высокую степень визуализации как исходных данных, так и результатов вычислений. Благодаря вышеперечисленным особенностям система Maple является одним из наиболее популярных программных продуктов подобного класса.

Для вычисления предела функции f в точке x=a используются функции: limit(f,x=a); и Limit(f,x=a); при x следует воспользоваться константой infinity. Например:

> Limit(sin(x)/x,x=0)=limit(sin(x)/x,x=0);

> Limit(1-exp(-x),x=infinity)=limit(1-exp(-x),x=infinity);

lim 1 e( x ) 1

x

Задание 2.

Для заданного определенного интеграла найти первообразную, построить график подынтегральной функции в области интегрирования, вычислить значение интеграла:

5

Методические указания.

Для вычисления неопределенных и определенных интегралов следует воспользоваться функциями:

int(f,x); int(f,x=a..b); Int(f,x); Int(f,x=a..b); где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования, a и b – нижний и верхний предел интегрирования.

Для построения графика функции f(x) используется функция plot: plot(f(x), x=a..b); plot(f(x), x=a..b, color=red); выражение x=a..b задает

переменную, по которой строится график и область ее значений.

Примеры некоторых стандартных функций Maple: arctg – arctan, arcctg – arccot.

Задание 3.

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений, при заданных значениях параметров a и b:

a11x a12 y a13z b1,a21x a22 y a23z b2 ,

a31x a32 y a33z b3.

Методические указания.

Для решения систем линейных уравнений используются функции пакета решения задач линейной алгебры linalg. Состав пакета можно выяснить с помощью команды with(linalg); . Для задания векторов и матриц используются функции: vector(n,list); - создание вектора с n элементами, за-

6

данными в списке list, matrix(n,m,list); - создание матрицы c числом строк n и столбцов m с элементами, заданными списком list. Для решения системы используется функция linsolv(A,B); , где A – матрица системы, B – векторстолбец свободных элементов. Например:

> A:=matrix(2,2,[a,b,c,d]);

Задание 4.

Найти аналитическое и численое решение системы дифференциальных уравнений первого порядка

с начальными условиями x(0) 1, y(0) 0, z(0) 0 . Построить графики решений. Значения коэффициентов aij , a и b следует взять из задания 3.

Методические указания.

При решении систем дифференциальных уравнений используют функции diff(y(x),x), dsolv({ODE,ICs},{funcs},ext_arg), где ODE – система дифференциальных уравнений, ICs – начальные условия, funcs – множество неопределенных функций, ext_arg – параметр, задающий тип решения (exact – аналитическое, по умолчанию, numeric - численное). Например:

>sys:=diff(x(t),t)=-y(t),diff(y(t),t)=-2*x(t)-y(t); fcns:={x(t),y(t)};

z:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=1},fcns);

fcns := {x(t ), y(t )}

z := { x( t ) 13 et 13 e( 2 t ), y( t ) 13 et 23 e( 2 t ) }

Можно явно указать используемые методы аналитического решения:

z:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},fcns,method=laplace);, z:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},fcns,series); – преобразование

Лапласа и разложение в ряд. Вариант численного решения:

z:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=1}, fcns, numeric, out-

7

put=listprocedure); , параметр output – определяет вид выходных данных. Для построения графиков численного решения можно воспользоваться функцией plots[odeplot], аналитического – функциями plot и subs:

plot(subs(z,x(t)),t=a..b). Функция subs выделяет отдельные реше-

ния x и у из z.

При решении задачи, могут быть полезны функция evalf:

z:=evalf(dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0}, fcns, laplace));, оцени-

вающая значение выражения, и команда restart, отменяющая присваивания значений всех переменных.

Как правило, для системы трех уравнений в Maple всегда можно найти аналитическое решение. Для четырех и пяти уравнений, аналитическое решение иногда получить не удается. В этом случае следует найти численное решение системы.

Контрольные вопросы.

1.Как найти предел функции?

2.Как вычислить первообразную?

3.Как найти значение определенного интеграла?

4.Как построить график функции?

5.Как найти аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений?

6.Как решить систему дифференциальных уравнений первого порядка аналитически, численно?

7.Как построить графики численного решения системы дифференциальных уравнений первого порядка?

Рекомендуемая литература

1.Голинкович Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1985.

2.Половко А.М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964.

3.Сборник задач по теории надежности. Ред. Половко А.М. и Маликова И.М. М.:Из-во «Советское радио», 1972.

4.Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.