Антенно-фидерные устройства АФУ / Лабы по CST / 16_20140818__CST-_

Выражения, соответствующие уравнениям (2.6), (2.9) и (2.7), (2.10), получаются аналогично.

При этом значения компонент поля на каждом шаге находятся по значениям на предыдущих шагах. Именно такой итерационный процесс положен в основу расчета метода FDTD. На рис. 2.1 показан кубик пространства (или так называемая элементарная ячейка Yee [3]) с компонентами E и H на гранях, иллюстрирующая связь компонент поля в конечно-разностных уравнениях Максвелла. Из рис. 2.1 становятся понятными дробные индексы в выражениях (2.11-2.12). Отметим, что последние содержат обычные операции сложения/вычитания и умножения/деления, элементарно реализуемые на компьютере. Для проведения расчетов требуется разбить пространство задачи на элементарные ячейки Yee и установить начальные значения для всех компонент полей, которые определяются условиями возбуждения.

Рис. 2.1. Представление компонент электромагнитного поля в кубической ячейке Yee

81

Размер пространственной сетки разбиения должен быть таким, чтобы вблизи одного элемента разбиения электромагнитное поле не претерпевало значительных изменений. Это означает, что для получения хороших результатов линейные размеры сетки должны составлять доли длины волны. Для получения устойчивости результатов вычислений необходимо удовлетворить соотношению между пространственным приращением и временным приращением ∆t. Для постоянных и требуется, чтобы

где с – это скорость света в среде. Если сmax является скоростью распространения света в рассматриваемой области задачи, необходимо выбрать

2.2. Метод конечного интегрирования

Метод конечного интегрирования (МКИ), предложенный Томасом Вейландом в 1977 году [4], представляет собой дискретную формулировку уравнений Максвелла в интегральной форме. Этот метод был реализован в SCT MWS версии 2009 и позволяет моделировать реальные структуры со сложной геометрией, заполняя пространство тетраэдральными или гексагональными элементами.

Первый шаг формализации МКИ состоит в ограничении электромагнитной задачи, которая обычно представляет собой задачу с

открытыми границами, ограниченной областью R3 , содержащей пространственную область задачи. Следующий шаг заключается в разбиении расчетной области Ω на конечное число ячеек Vi, таких как тетраэдральные (четырехгранные) или гексагональные (шестигранные) при условии, что все ячейки точно прилегают друг к другу, то есть пересечение двух различных ячеек либо отсутствует, либо должно быть двухмерным многоугольником, общей одномерной гранью обеих ячеек или точкой. Это разбиение дает конечную группу ячеек G, играющую роль расчетной сетки.

Можно увидеть, что методика конечного интегрирования не ограничивается только трехмерными декартовыми сетками. Она позволяет

82

рассматривать все типы координатных сеток – ортогональные (прямоугольные) и неортогональные.

Отметим, что каждая грань ячеек имеет исходную ориентацию, т.е. направление, так что объединение всех этих ячеек может быть описано как направленный граф. Аналогично многоугольные грани ячеек будут связаны с направлением.

Для начала примем, что область Ω имеет форму куба, и разбиение на сетку вводится для декартовой системы координат так, что мы получаем набор ячеек

где узловые точки (xi, yj, zk) пронумерованы в соответствии с координатами i,j и k вдоль осей X, Y и Z. Это приводит к общему количеству точек Np=I·J·K для (I−1)·(J−1)·(K−1) ячеек сетки, по которым структура разбивается на ячейки.

После определения группы ячеек G сетки использование теории конечного интегрирования требует рассмотрения области одной ячейки Vn. Формулировка закона Фарадея в интегральной форме

может быть переписана для грани Az(i,j,k) ячейки Vn как обыкновенное дифференциальное уравнение

является электрическим напряжением вдоль одного ребра поверхности Az(i,j,k), представляющим точное значение интеграла от электрического поля вдоль этой грани. Скалярная величина

является магнитным потоком, т.е. величиной плотности магнитного потока через грань ячейки Az(i,j,k). Заметим, что направления граней ячейки влияют на знаки в (2.17). Подчеркнем, что уравнение (2.17) представляет собой точное представление выражения (2.16) для рассматриваемой поверхности ячейки.

83

y

x

z

Интегральная формулировка закона Фарадея (2.16) справедлива для

поверхностных интегралов. Это и позволяет выбрать такой подход

Уравнения (2.17) для всех поверхностей ячеек сетки (рис. 2.2) из набора G могут быть записаны в матричной форме

84

В качестве второго дискретного оператора рассмотрим оператор дивергенции. Его ввод следует из уравнения Максвелла, описывающего отсутствие магнитных зарядов:

y

x

z

Рис. 2.3. Распределение шести магнитных потоков через грани, которые рассматриваются при интегрировании по замкнутой поверхности

Оценка для интеграла по поверхности (2.20) для изображенной на рис. 2.3 кубической ячейки дает выражение

85

которое является строгим для рассматриваемого объема. Это соотношение для одной ячейки тоже может быть расширено для всего набора ячеек G, что позволяет получить матрицу дискретной дивергенции

Отмеченная «дуальность» означает, что а) каждую грань ячеек основной сетки пересекает только одно ребро дуальной сетки и наоборот, и б) каждая ячейка основной сетки содержит одну и только одну вершину дуальной сетки и наоборот.

распределяются по аналогии с электрическими напряжениями сетки и магнитными потоками граней на G.

Дискретизация закона Ампера в интегральной форме

86

аналогии с законом Фарадея, используя сеточные напряжения для того, чтобы получить ток смещения и ток проводимости через рассматриваемую грань ячейки.

В заключение закон Гаусса в интегральной форме может быть дискретизирован для ячеек дуальной сетки. Обе эти дискретизации для набора ячеек дуальной сетки сводятся к матричным уравнениям с

матричных уравнений, так называемых уравнений Максвелла на сетке

(Maxwell-Grid-Equations, MGE), задается следующим образом:

Рис. 2.4. Сеточная пара ~ : пространственное расположение ячейки и

G, G

дуальной ей ячейки

Безвихревое электромагнитное поле в области Ω может быть представлено как градиентное поле скалярных потенциалов, согласно лемме Пуанкаре. В контексте МКИ мы имеем дело с электрическими напряжениями на гранях сетки. Представляя их как разность значений двух узловых потенциалов (дискретные потенциалы Φ(i,j,k) располагаются на точках пересечения ячеек сетки G), имеем соотношение

Объединяя величины этих дискретных потенциалов по всему набору ячеек, получаем равенство

87

узловых магнитных потенциалов.

Для проведенной до сих пор дискретизации уравнений Максвелла область расчета была искусственно ограничена, и информация о том, что эти уравнения сохраняются, относится только к величинам, которые определены в точках (потенциалы), на ребрах (напряжения), гранях (токи) или в объеме

Приближения самого метода справедливы, когда величины напряжений и токов, располагающихся на двух различных наборах ячеек, связаны друг с

направления, связанные с гранью и с проходящим сквозь эту грань дуальным ребром, идентичны. Кроме того, с взаимно однозначным соответствием между гранями и пересекающими их дуальными ребрами это приведет к

характеризующимся только диагональными матрицами для линейных или

электрической и магнитной поляризаций. Материальные матрицы МКИ содержат метрическую информацию уравнений Максвелла на сетке, т.е. усредненную информацию о материале в пределах сетки (рис. 2.5). Четыре введенных уравнения Максвелла на сетке (2.24) и (2.25) являются строгими и содержат только топологическую информацию, ошибка же дискретизации заключена в дискретных материальных уравнениях.

88

техника тетраэдрального заполнения (tetrahedral filling technique) и метод идеальной аппроксимации границы (Perfect Boundary Approximation), последний из которых и нашел свое применение в программе CST Microwave Studio. Эти схемы позволяют использовать эффективные с точки зрения вычислений структурированные прямоугольные сетки, позволяя в то же время снизить ошибку аппроксимации свойств материала в методе

(рис. 2.6).

электрических проводимостей внутри ячеек. Рис. a) отображает ситуацию треугольно частично заполненных ячеек, рис. б) показывает тетраэдральные подобласти ячейки.

сечет их).

Уделим внимание алгебраическим свойствам матричных операторов. Одним из важнейших свойств дискретного представления уравнений Максвелла является дискретный аналог векторного аналитического уравнения

задаваемый для сдвоенного набора ячеек ~ матричными уравнениями

G, G

90