Антенно-фидерные устройства АФУ / Лабы по CST / 16_20140818__CST-_

Эти выражения вытекают из того факта, что для всех ячеек сетки вычисление дискретной дивергенции состоит в суммировании компонент токов.

Для последних, каждое напряжение в сетке (умножаемое слева на дискретную матрицу ротора С) учитывается дважды с различным знаком при подсчете ротора, дающего нулевую дивергенцию в результате полного суммирования (рис. 2.7). Этот результат из алгебраической топологии, где он также используется для доказательства выражения (2.33), напрямую перенесен по отношению к МКИ в дискретный электромагнетизм, где он справедлив для основных и дуальных сеток.

Преобразование уравнений (2.34) и (2.35) совместно с выражением

Из (2.34) и (2.35) видим, что дискретные поля, представленные как градиенты узловых векторов потенциалов в (2.27), будут также безвихревыми и на дискретном уровне.

Матричные уравнения (2.34), (2.35), (2.37) и (2.38) содержат только выражения топологии сетки и не включают никаких метрических понятий.

91

Важной особенностью МКИ как схемы пространственной дискретизации для уравнений Максвелла является «встроенное» уравнение непрерывности

соответствующее аналитическому уравнению

Дискретное уравнение непрерывности гарантирует, что фиктивные (ложные) заряды будут отсутствовать. Такие нефизичные заряды могли бы привести к статическим полям, искажающим решения дискретных нестационарных полей.

Если процессы электромагнитного поля рассчитываются во временной области, то первостепенное значение обретают дискретная система сохранения энергии во времени и пространстве. Если это условие нарушается, то отсутствуют необходимые предпосылки для долгосрочного стабильного временного интегрирования процессов распространения электромагнитных волн без введения искусственного численного затухания

(artificial numerical damping).

Полученные выше выражения позволяют записать уравнения, являющиеся основой вычислений для расчетного устройства во временной

области (Transient solver):

где верхний индекс характеризует номер временного такта. Согласно этим соотношениям искомыми переменными являются электрические напряжения и магнитные потоки. Оба типа неизвестных величин фиксируются поочередно во времени, как в последовательном алгоритме, показанном на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Алгоритм последовательного вычисления электрических и магнитных полей во временной области

92

Например, значение магнитной индукции при t=(n+1) t вычисляется, зная магнитную индукцию на предыдущем временном шаге t=n t и электрическое напряжение в середине предыдущего такта, т.е. при t=(n+1/2) t. Подобная схема представляет собой типичную реализацию метода конечных разностей во временной области (FDTD).

Преобразование в частотной области для уравнений Максвелла на сетке

Объединение этих уравнений приводит к основной алгебраической задаче поиска собственных частот с однородным двойным роторным (curlcurl) уравнением

Подобное выражение и реализовано в CST MWS в модуле Eigenmode, предназначенном для вычисления собственных частот резонирующих

позволяет перейти к типичной задаче нахождения вещественных собственных частот

При дополнительном предположении о симметричных и положительно

определения собственных частот непосредственно приводит к тому, что все

вещественными и неотрицательными. Таким образом, решение дискретного поля во временной области, которое всегда может быть разложено в виде линейной комбинации таких незатухающих собственных решений без потерь, не будет ни расти, ни затухать во времени.

2.2.1. Аппроксимация искривленных границ

Недостаток МКИ с использованием декартовых ортогональных сеток (рис. 2.9,а) состоит в сложности дискретизации изогнутых структур. Даже при заполнении треугольниками (рис. 2.9,б) не только электрические и магнитные поля, но иногда и такие характеристики, как значения резонансных частот и величины добротности Q, рассчитываются неверно изза ошибок интегрирования вдоль изогнутых границ.

93

для основной сетки, означает, что системная матрица вещественна и симметрична. Следовательно, система имеет только вещественные собственные частоты. Это физически важное свойство также необходимо для устойчивого интегрирования дифференциальных уравнений во временной

реализацию схемы разбиения на подсетку [6], которая обладает упомянутыми выше свойствами.

Когда при разбиении вводится подсетка, поля внутри каждой ячейки подсетки также описываются уравнениями Максвелла на сетке (MGE). Остановим свое внимание на переходе от сетки к подсетке и обратно.

Начнем рассмотрение с двухмерной задачи перехода от сетки к подсетке, как показано на рис. 2.13. По аналогии с происхождением базового МКИ выберем дуальную сетку, отображенную на рис. 2.13. Основываясь на этой конфигурации, необходимо разделить магнитное напряжение в базовой сетке вплоть до дуальной сетки в переходе с сетки на подсетку в соответствии с геометрическими длинами. Используя пропорциональность магнитного напряжения вдоль дуальной сетки, мы можем таким образом

вычислить компоненты электрического поля, тангенциальные к подсетке.

~T

Чтобы удовлетворить уравнению C C , нужно использовать одинаковые коэффициенты связи при вычислении вкладов компонент электрического поля в подсетке в тангенциальный (касательный) магнитный поток на базовой сетку.

96

ввода подсетки является возможность использования различных временных шагов в разных сетках. Вследствие улучшения качества разбиения в два раза для каждой подсетки мы можем выполнить два временных шага в подсетке, используя при этом один временной такт для основной сетки. Тангенциальный магнитный поток на основной сетке будет приниматься постоянным во время корректировки электрических и магнитных полей в подсетке. Для подсетки, содержащей дополнительную подсетку, эта процедура приводит к рекурсивной модернизированной схеме.

2.3. Метод интегральных уравнений

На основании метода интегральных уравнений программа CST Microwave Studio реализует метод моментов (Method of Moments, MoM) [6,7], используя для дискретизации интегрирование по поверхности электрических и магнитных полей. Вследствие применения интегрирования по поверхности, при решении проблем больших электрических размеров программа использует гораздо меньше элементов разбиения, чем методы объемной дискретизации пространства. Тем не менее, числовая сложность MoM высока для расчета крупных структур.

Эта проблема обходится путем применения многоуровневого быстрого мультипольного метода (multi-level fast multipole method, MLFMM)

(рис. 2.16). В то время как MoM рассматривает непосредственную связь между всеми элементами сетки разбиения, в MLFMM область задачи сначала разделяется на отдельные блоки. Внутри каждого блока учитывается только связь с одной точкой, представляя эффект взаимодействия элементов, сгруппированных вместе (композиция, aggregation). На следующем уровне учитываются уже связи между блоками. Так строится многоуровневая иерархия. Информация о связях обратно передается по иерархии к отдельным элементам (disaggregation, т.е. декомпозиция).

Дополненная таким алгоритмом программа способна анализировать крупногабаритные структуры. Основным преимуществом этого метода является сочетание плотного разбиения структуры для решения прямым (обычным MoM) и итерационным (композиция-декомпозиция в MLFMM) способом. Дискретизация высокого порядка позволяет увеличить точность по сравнению с методами первого порядка.

Для сокращения численной сложности задачи при разбиении модели возможно применение так называемого смешанного порядка дискретизации. В этом случае порядок многочлена дискретизирующей функции выбирается адаптивно в зависимости от размеров элементов сетки разбиения, которые самостоятельно выбираются генератором сетки в зависимости от особенностей структуры.

99