Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

План семестра поурочный по ВычМат-2014 / VM-7-m-Интегрирование.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

231.94 Кб

Скачать

☆

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). f=inline(‘<функция>');

	b
Требуется определить значение определенного интеграла	I f (x)dx F(b) F(a),
	a

которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:

x =a, x = a+h, x =x +h,…,x =x +h,…,x =b,

где h b

– шаг разбиения.

2 1

i–1

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi.

x=a:h:b;

plot(x,f(x),'k-')

f(x)

yn–1

yi–1

yi+1

· ·

· · ·

si-1

sn-1

x0=a

· ·

xi–1

xi xi+1

xn–1 xn=b

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1

Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):

xi 1

si i (x)dx

Вид функции φi(x) будет определять название метода.

Методы прямоугольников

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой

Метод прямоугольников вперед.

Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
xi 1		xi 1	yi (xi 1 xi ) yi h	S	n 1			n 1	y
si	yidx yi x					s		h
		xi					i			i

xi					i 0			i 0

Метод прямоугольников назад.

Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi 1	xxii 1 yi 1 (xi 1 xi ) yi 1 h	n 1	n 1
si yi 1dx yi 1 x		S si h yi 1 2

xi		i 0	i 0

				Метод прямоугольников в среднем.
Вычислим	x	i	1		xi	1 h	и значение функции	i (x) y	i	1
		i		2		2			i		2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi 1

n 1

dx y

) y

i 1

i 0

x=a:h:b-h;	x=a+h:h:b;	x=a+h/2:h:b;
	S=h*sum(f(x));	S=h*sum(f(x));
S=h*sum(f(x));

Метод трапеций

Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам

(xi,yi) и (xi+1,yi+1):

i (x) Li (x) yi (x xi 1 )

yi 1

(x xi )

(xi xi 1 )

(xi 1 xi )

тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

x 1

(x xi 1 )

(x xi )

i L

(x)dx i

i 1

(xi xi 1 )

(xi 1

xi )

Введем переменную t	x xi
	h

Тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,

1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

1 y

h(t 1)hdt

1 y

hdt h(1 y

(1 t)dt

1 y

tdt) h(y

t 2

1 ) y

t 2

1 )

( h)

i 1

(h)

i 1

i 1 2

h ( yi (1

1) yi 1

1 ) h yi yi 1

n 1

n 1h

S si

(yi

yi 1 )

(y0 y1

y1 y2

... yn 1

yn 1 yn )

i 0

.... 2y

n 1

i 1

x=a:h:b-h;

x=a:h:b;

S=h*sum((f(x)

S=trapz(x,f(x));

S=h*trapz(f(x));

+f(x+h))/2);

Метод Симпсона

Определим точку xi+½ = xi+½·h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1] и значение функции в этой точке yi+½

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. её график

должен проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+½,yi+½) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+½ и xi+1:

	i (x) Li (x) yi		(x xi 1/		2 )(x xi 1 )
			(xi xi 1/
					2 )(xi		xi 1 )
yi 1/ 2	(x	xi )(x xi 1 )		yi 1		(x	xi )(x	xi 1/ 2 )
	(xi 1/ 2	xi )(xi 1/ 2 xi 1 )				(xi 1	xi )(xi 1 xi 1/ 2 )

Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

xi 1

i 1/

)(x

i 1

)

(x)dx

(xi

xi 1/

2 )(xi

xi 1 )

		(x	xi )(x xi 1 )			(x	xi )(x xi 1/ 2 )
y	i 1/ 2			y	i 1			dx
y				y				dx
		(xi 1/ 2	xi )(xi 1/ 2 xi 1 )			(xi 1
		(xi 1/ 2	xi )(xi 1/ 2 xi 1 )			(xi 1	xi )(xi 1 xi 1/ 2 )		5

Введем переменную	t	x	xi	тогда x = xi + h·t и dx = h·dt.
		h

Значениям x, равным xi, xi+½, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,½,1 Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+½) = xi – xi+½ + h·t = h(t- ½) Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1)

Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

1	h(t	1	)h(t	1)								hth(t		1
		2				hth(t 1)								2	)
si yi					yi 1/ 2						yi 1					hdt
		h					h		h				h
0	(		)( h)			(		)(		)		(h)(		)
		2					2		2				2

2)(t 1)

) y

t(t 1)

t(t

)hdt

i 1/ 2

i 1

(

( 4)

(2t 2

3t 1) 4y

(t 2

t) y

(2t 2

t))dt

h (y

i 1/ 2

i 1

h (y			(2		t3	3	t 2	t		) 4y			(	t3		t 2		) y		(2	t3		t 2	) )




		i		3		2						i 1/ 2	3			2			i 1		3		2
		i										i 1/ 2							i 1				2

h (yi (	2		3	1) yi 1/ 2					4(1		1) yi 1 (				2		1) ) h(yi				1	yi 1/ 2			4	yi 1	1)
	3		2						3		2				3		2				6				6		6

h6 (yi 4yi 1/ 2 yi 1)

Тогда значения общей S площади можно вычислить как:

n 1

)

i 1/ 2

i 1

i 0

S h (y

3/ 2

... 2y

n 1

n 1/ 2

)

1/ 2

x=a+h:h:b-h;
xs=a+h/2:h:b;	S=quad(f,a,b);
S=h/6(f(a)+f(b)+2sum(f(x))+4*sum(f(xs)));	S=quad(f,a,b);
	7

Соседние файлы в папке План семестра поурочный по ВычМат-2014

#
13.02.2015196.61 Кб25VM-2-m.ppt
#
13.02.2015426.5 Кб25VM-3-m-Вект-Матрицы.ppt
#
13.02.2015354.3 Кб24VM-4-m-СЛАУ-Обусл.ppt
#
13.02.2015400.38 Кб23VM-5-m-Статобработка.ppt
#
13.02.2015443.9 Кб27VM-6-m-Интерполяция-Аппроксимация.ppt
#
13.02.2015231.94 Кб24VM-7-m-Интегрирование.ppt
#
13.02.2015436.22 Кб22VM-8-m-Уравнение.ppt
#
13.02.2015297.47 Кб25VM-9-m-Система_Нелин_Уравн.ppt
#
13.02.2015112.64 Кб26Билеты.doc
#
13.02.2015337.41 Кб27Блок-схемы по ВМ (составлены К.В.Н.).xls
#
13.02.2015150.53 Кб27Блок_схемы (Выч.математика).doc

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Введем переменную t

Метод Симпсона

Введем переменную