2.Базис и размерность линейного пространства Определение 2. Линейной комбинацией элементов x,y,…,z линейного пространства R называется сумма произведений этих элементов на произвольные

вещественные числа x y ... z . Определение 2. Элементы x,y,…,z линейного

пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , ,..., , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что линейная комбинация элементов с этими числами равна 0. В противном случае элементы называются линейно независимыми.

Определение 3. Линейно независимая система векторов e1,e2 ,..., en называется базисом линейного пространства, если любой элемент x этого пространства может быть представлен как линейная комбинация векторов системы

x x1e1 x2 e2 ... xn en

Числа называются координатами вектора x в базисе e1,e2 ,..., en . Число векторов составляющих базис называется размерностью пространства

n dim L .

3. Линейные операторы

Определение 4. Линейным оператором А, действующим из линейного векторного пространства (ЛВП) X в ЛВП Y , называется отображение A : X Y , ставящее в соответствие

координатами заданы два вектора a (a1 , a2 , a3 ) a1i a2 j a2 k

b (b1 , b2 , b3 ) b1i b2 j b2 k . Тогда можно задать линейный оператор действующий из трехмерного пространства в это же пространство y [a, x] [a x] . Матрица этого оператора имеет вид:

4. Собственные вектора и числа квадратных матриц Определение 5. Число называется собственным числом квадратной матрицы A, если существует ненулевой вектор x такой, что выполняется равенство Ax x . Вектор x называется собственным вектором матрицы, отвечающим собственному числу .

Для нахождения собственных чисел матрицы A необходимо решить характеристическое уравнение

det(A E) a E 0 .

Квадратная матрица размера n может иметь не более n собственных значений. Для нахождения собственного вектора, отвечающего собственному значению 1 необходимо решить однородную систему линейных уравнений:

( A 1 E)x 0 .

Системы линейных уравнений.

1.Условие совместности линейных систем

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет

вид:

где x1 , x2 ,..., xn неизвестные, a11 ,...amn заданные коэффициенты системы, b1 ,b2 ,...,bm заданная правая часть системы (свободные члены)

Определение 1. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 2. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной в противном случае.

Систему можно записать в матричном виде:

Ax b ,

где A матрица размера m n называется матрицей системы, x (x1 , x2 ,..., xn )T вектор неизвестных, b (b1 , b2 ,..., bm )T вектор свободных членов. Матрица ( A | b) называется расширенной матрицей системы.

Однородной системой линейных уравнений называется система:

Однородная система всегда совместна поскольку является решением системы. Получим условия, при которых однородная система имеет нетривиальные решения. Существование нетривиального решения эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы системы.

Теорема 1.

Однородная система имеет нетривиальные решения, тогда и только тогда, когда ранг матрицы A меньше числа неизвестных.

Следствие 1. Однородная система с квадратной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда когда

det A 0 .

Теорема Кронекера Капелли.

Для того чтобы неоднородная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной системы.

Доказательство Необходимость.

Пусть система имеет решение. Обозначим r rangA . Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на вектора столбцов матрицы системы. Вектор свободных членов

принадлежит этой оболочке, поскольку существует решение системы.

Тогда ранг системы векторов, состоящей из столбцов расширенной матрицы равен r , следовательно, ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадают.

Достаточность

Пусть ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадают. Тогда r базисных столбцов матрицы системы являются базисными и для расширенной матрицы. Следовательно, последний столбец расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов, и система имеет решение.

Теорема доказана. Метод Гаусса Определение.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой строке первый ненулевой элемент стоит правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.

Элементарные преобразования строк

1.Умножение строки на число, отличное от 0.

2.Сложение двух строк.

3.Перестановка двух строк.

4.Вычеркивание нулевой строки.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы не меняют множества решений системы.

Метод Гаусса

1.Прямой ход. С помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

2.Обратный ход. Вычислить решения системы, начиная с последнего уравнения.

Лекция 12. Решение систем линейных уравнений

1.Квадратные системы с определителем, отличным от нуля

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной

матрицей порядка n, которая имеет вид:

По теореме Кронекера Капелли система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы отличен от нуля. Решение системы является единственным и может быть получено по формулам Крамера. Докажем это утверждение.

Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения:

AX B .

Поскольку определитель матрицы A отличен от нуля, то существует обратная матрица A 1 , решение может быть вычислено по формуле:

X A 1B

Учитывая вид обратной матрицы, получим формулы Крамера.

Рассмотрим общую систему линейных уравнений, Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Пусть ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен r . Тогда система является совместной.

Предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Тогда уравнения, начиная с r+1 го, являются линейными комбинациями первых r уравнений. Поэтому решение первых r уравнений обращает в тождества последующие уравнения.

Придавая xr 1 , xr 2 ,..., xn произвольные значения, получим квадратную систему уравнений, которая имеет единственное решение, которое можно получить, используя формулы Крамера.

Обозначим M j (di ) определитель матрицы, получающейся из базисного минора матрицы, определитель которого равен M 0 , заменой j го столбца на числа d1 ,...di ,...dr , оставляя другие столбцы без изменения. По формулам Крамера получаем

x j M1 M j (bi air 1cr 1 ... aincn ) M1 (M j (bi ) cr 1M (air 1 ) ... cn M (ain )), j 1,..., r (3)

В силу линейности определителя.

Формулы выражают базисные неизвестные через значения cr 1 ,..., cn свободных неизвестных xr 1 , xr 2 ,..., xn , которые могут принимать произвольные значения.

Докажем, что эти формулы содержат любое решение исходной системы (1). Пусть с10 ,...,cr0 ,cr0 1 ,...,cn0 решение системы (1), тогда они являются решением системы (2). Но из

системы (2) значения с10 ,..., cr0 однозначно определяются значениями cr0 1 ,..., cn0 по формулам (3) Крамера и

с1 с10 ,..., сr cr0 , cr 1 cr0 1 ,..., cn cn0 . (Значения cr0 1 ,..., cn0 дают значения

с10 ,...,cr0 ).

2. Совокупность решений однородной системы. Рассмотрим однородную систему линейных

уравнений, Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Пусть ранг матрицы системы равен r . Тогда

x j M1 M j ( air 1cr 1 ... aincn ) M1 ( cr 1M (air 1 ) ... cn M (ain )), j 1,..., r

Эти формулы дают все решения однородной системы. Очевидно, что совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство.

Докажем, что оно изоморфно пространству упорядоченных последовательностей n r чисел. Поставим в соответствие каждому решению однородной системыс10 ,..., cr0 , cr0 1 ,..., cn0 элемент указанного пространства cr0 1 ,..., cn0 .

Определение 1. Фундаментальной совокупностью решений системы однородных уравнений называется любая совокупность n r линейно независимых решений однородной системы.

Определение 2. Нормальной фундаментальной совокупностью решений системы однородных уравнений называется совокупность n r линейно независимых