4.2. Информационная матрица

 

 

 

Тема 04: Построение компьютерных моделей гомогенных химических реакторов с мешалкой.

§1. Принципы построения компьютерных моделей гомогенных химических реакторов с мешалкой.

МО + МА → ММ

 

Макрокинетические уравнения – уравнения балансов, записанные с учётом гидродинамической модели движения потока (уравнения покомпонентного баланса, общего баланса массы, энергетический (тепловой) баланс), которые включают в виде слагаемых выражения для интенсивности источников (скоростей) различных «элементарных» процессов, как например, химических превращений, массо- и теплопередачи, фазовых переходов и т.д.

 

Микрокинетические уравнения – записываются для элементарного объёма, вне зависимости от того, в каком потоке протекает процесс (например, уравнения скорости протекания химических реакций для каждого компонента, уравнения скорости выделения и поглощения тепла за счёт химической реакции). Эти уравнения скоростей называются интенсивностями источников компонентов или локальными интенсивностями источников тепла и включаются в уравнения покомпонентного баланса, уравнение общего баланса массы, а также в уравнения теплового баланса.

 

1.1. Микрокинетика сложной химической реакции

Скорость химической реакции по каждому компоненту:

n – компонентов, m –стадий, реакция в жидкой фазе

 

  

Локальная (отнесённая к единице объёма) скорость выделения или поглощения тепла в химической реакции:

 I )

 

 

 

 

 

r_j – скорость j – ой стадии химической реакции, определяемая по закону действующих масс.

α_ij – стехиометрический коэффициент i – го компонента на j – ой стадии.

α_ij > 0 i = п - продукт на j – ой стадии;

α_ij < 0 i = р - реагент на j – ой стадии;

α_ij = 0 i - отсутствует.

> 0 - компонент i образуется;

< 0 - компонент i расходуется;

 

 

 

 

 

 

n = 4, m = 3

 

 

 

П - произведение

 если i - реагент

 если i - продукт или отсутствует

 

( j = 1,…m )

Для рассматриваемого уравнения реакции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Выбор ключевых компонентов химической реакции.

Компоненты химической реакции бывают ключевыми и не ключевыми.

Ключевые компоненты – это компоненты, задание которых однозначно характеризует состояние процесса, сопровождаемого химической реакцией, в любой момент времени.

Уравнения МО с учётом гидродинамических условий и микрокинетических закономерностей записываются только для ключевых компонентов, в то время как остальные (не ключевые) компоненты определяются из стехиометрических соотношений.

Процедура выбора ключевых компонентов сложной химической реакции связана с понятием ранга матрицы стехиометрических коэффициентов, который характеризует максимальное число линейно независимых строк или столбцов этой – в общем случае прямоугольной – матрицы.

Для прямоугольной матрицы стехиометрических коэффициентов размераn х m определитель квадратной подматрицы s-го порядка называется минором s-го порядка матрицы стехиометрических коэффициентов. Рангом матрицы называется максимальный порядок её минора, отличного от нуля. Если матрица стехиометрических коэффициентов имеет минор порядка s, который отличен от нуля, а любой другой минор порядка s+1 и выше равен нулю, то ранг матрицы равен s. Очевидно, что ранг матрицы может быть определён как для квадратной, так и для прямоугольной матриц.

Ранг матрицы стехиометрических коэффициентов равен числу ключевых компонентов химической реакции.

Для математической модели нужна скорость реакции по каждому компоненту. Если удаётся выразить скорости образования одних компонентов через скорости образования других – ключевых компонентов – сокращается количество сложных, в общем случае нелинейных кинетических уравнений, необходимых для описания всего процесса. В результате по концентрациям ключевых компонентов через стехиометрические соотношения можно рассчитать состав всей реагирующей смеси в любой момент времени.

Матрица стехиометрических коэффициентов для рассматриваемого уравнения имеет вид:

Задача выбора ключевых компонентов реакции сводится к нахождению ранга матрицы стехиометрических коэффициентов. Ранг матрицы, число и наименование ключевых компонентов определяют методами матричного исчисления.

Определим ранг матрицы стехиометрических коэффициентов:

Миноры матриц 3Х3 = 0:

 

 

 

 

  

Для матриц 2Х2 есть миноры не равные 0, наивысший порядок минора =2. Ранг матрицы коэффициентов = 2.

Имеем 2 ключевых компонента.

Для скоростей химической реакции по компонентам будет справедливо:

 

 

Врезультате в качестве ключевых выбираем компоненты А и С:

 

 

 

 

 

Таким образом, окончательный вид системы уравнений для описания скоростей химической реакции по компонентам включает два кинетических уравнения (вместо первоначальных четырёх) и может быть представлен:

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом константы скоростей стадий в соответствии с законом Аррениуса выражаются:

 

 

 

 

 

 

 

  

- тепловой эффект j- стадии, отнесённый к 1 молю продукта р.