Тема 03. Построение компьютерных моделей теплообменников

§1. Построение модели теплообменника типа смешение-смешение

Типы поверхностных теплообменников:

 Кожухотрубные

Трубчатые

Аппараты воздушного охлаждения

Пластинчатые

Змеевиковые

и т.д.

  

Построение компьютерной модели:

А)Изучение и/или ознакомление с теорией

Б)Построение МО процесса

В)Выбор и реализация алгоритма (моделирующего алгоритма – МА) решения уравнений МО

1.1. Основные допущения:

1)Рассматриваем стационарный режим

2)Принимается модель ИС для обоих потоков

3)Происходит только процесс теплопередачи

4)Физико-химические переменные – теплоёмкости потоков являются постоянными величинами.

  

1.2. Уравнения математического описания:

 

- локальная скорость теплопередачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система линейных алгебраических уравнений СЛАУ:

  

 

 

 

 

1-й частный случай: пустьK^T = const - это так же допущение.

Найдём

 

 

Преобразуем систему уравнений путём подстановки в уравнения 1) и 2):

 

  

 

СЛАУ:

 

 

II-й частный случай:

 

к уравнениям 1), 2), 3) добавляются уравнения 4), 5), 6) 

 

 

 

 

 

 

 

 (известные)

  

Система нелинейных уравнений СНУ:

 

 

 

 

  

где f – нелинейная функция х

Методы решения СНУ:

 

1)Метод Ньютона-Рафсона

2)Метод простых итераций

3)Метод математической декомпозиции

1 и 2 – Определяются одновременно 6 переменных методом последовательных приближений (итерационно)3 – Выбирается такой алгоритм (путём анализа информационной матрицы уравнений математического описания), который позволяет итерационно искать меньшее число переменных, при этом оставшиеся переменные определяются автоматически по результатам расчётов, полученным на последней (последних) итерации (итерациях).

 

1.3. Информационная матрица

 

Начальное приближение (произвольное задание Т₁):

Определить:

Заданы и определены:

 

4-й шаг – можно откорректировать какую-либо из заданных величин.

 Внутренний итерационный цикл:

Внешний итерационный цикл:

 

 

 

§2. Построение модели змеевикового теплообменника

L – длина змеевика

  

2.1. Основные допущения:

 

А)Принимаем, что поток, текущий через резервуар – МИС

Б)Поток в змеевике – МИВ

В)Рассматриваем стационарный режим работы

Г)Коэффициент теплопередачи = const

Д)Никаких процессов кроме теплопередачи не происходит

Е)Теплоёмкости одинаковы и не меняются с температурой

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Вывод уравнения общего теплового баланса:

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

2.2. Система уравнений математического описания:

 

  

Обыкновенное дифференциальное уравнение в явном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система интегро-дифференциальных уравнений

 

 

На компьютере можно вычислить только частное решение, для этого необходимо задать начальные условия → Задача Коши – все дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной.

 

 

 

  

 

2.3. Информационная матрица

 

1 – корректирующее уравнение – внешний цикл решения задачи; 2 – цикл решения дифференциального уравнения – внутренний цикл решения задачи

 

Корректирующее уравнение:

 

  

Во внешнем цикле - метод половинного деления.

Во внутреннем цикле решается дифференциальное уравнение 2 (метод Эйлера) при каждом приближении Т₁.

 

  

Используемые численные методы:

2 – метод Эйлера

1 – метод половинного деления

   

§3. Построение модели прямоточного теплообменника труба в трубе. Решение задачи Коши.

 

1)Стационарный режим

2)Происходит только теплопередача

3)Коэффициент теплопередачи = const, известен – прямые задачи

4)Теплоёмкость потоков = const

5)Равномерное распределение вдоль участка

 

 

 

Уравнения для первого потока:

 

 

 

 

 

Уравнения для второго потока:

 

 

 

 

 

 

  

3.1. Система уравнений математического описания:

(система обыкновенных дифференциальных уравнений)

 

 

 

 

 

 

 

Начальные условия:

 

 

 

 

  

Задача, получающая частные решения, когда дополнительные условия задачи заданы при одном значении независимой переменной называется задачей Коши.

 

Эту систему можно решить аналитически точно.

  

3.2. Информационная матрица

 

  

§4. Построение модели противоточного теплообменника труба в трубе. Решение краевой задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1. Система уравнений математического описания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краевые условия – дополнительные условия заданы при различных значениях независимой переменной L. Задача получения частного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в таких условиях называется краевой задачей.

 

1-й шаг - задаются все дополнительные условия при одном значении независимой переменной, например,

= 0,

втом числе и отсутствующие в исходной постановке задачи. Последние задаются как начальное приближение:

 

2-й шаг - решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако полученное решение будет неточным, т.к. одно из дополнительных условий -

- было задано как приближение.

3-й шаг - проверяется выполнение краевого условия 2’).

 

 

Если нет – то шаг 4.

4-й шаг - Краевое условие 2’) рассматривается как корректирующее уравнение для выбора нового приближения

 

 

т.е. по существу реализуется процедура решения уравнения следующего вида:

 

 

 Определяется решение во внешнем цикле решения задачи:

 

5-й шаг - как только будет получено решение последнего уравнения, во внешнем цикле решения задачи, задача будет решена, и результаты решения СОДУ 1) и 2) во внутреннем цикле решения задачи будут корректными.