§8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.

Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:

, (8.1)

где – линейно независимые на некотором интервале X решения лоду, а - произвольные постоянные. Будем искать частное решение лнду в форме (8.1), считая, что – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от :

. (8.2)

Продифференцируем равенство (8.2):

. (8.3)

Подберем функции и так, чтобы выполнялось равенство: . Тогда вместо (8.3) будем иметь:

. (8.4)

Продифференцируем это выражение еще раз по . В результате получим:

. (8.5)

Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка f(x):

f(x)

или

f(x). (8.6)

Так как - решения лоду , то последнее равенство (8.6) принимает вид: f(x).

Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если функции и удовлетворяют системе уравнений:

(8.7)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на X решений соответствующего лоду, то он не обращается в ноль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдем и : и . Интегрируя, получим:

, ,

где - произвольные постоянные.

Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного уравнения:

.

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение . Интегрируя его, получим общее решение: . Итак , двумя линейно независимыми решениями, образующими общее решение, являются функции и .

Предположим теперь, что общим решением заданного уравнения является выражение .

Для определения функций и имеем систему уравнений:

Откуда получаем , . Следовательно, общее решение заданного уравнения есть: .

Линейные уравнения высших порядков

§1. Однородное уравнение.

Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

f(x). (1.1)

Если при всех рассматриваемых значениях функция f(x) равна нолю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Предполагаем, что коэффициенты и свободный член f(x) определены и непрерывны в интервале . Тогда уравнение (1.1) имеет единственное решение , определенное во всем интервале и удовлетворяющее начальным условиям: , причем начальные данные можно задавать произвольно, а нужно брать из интервала .

Линейное однородное дифференциальное уравнение (лоду) всегда имеет нулевое решение .

Для построения общего решения лоду достаточно знать линейно независимых в интервале частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

, ,

где - постоянные числа, может выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений лоду была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала . В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала .

Если найдена фундаментальная система решений лоду, то формула

, (1.2)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области .