1.3. Меню Mathcad

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами:

• выбором операции в меню

• с помощью кнопочных панелей инструментов

• обращением к соответствующим функциям

Почти все операции, закрепленные за пунктами меню, дублируются соответствующими кнопками панели инструментов. Для обращения к встроенной функции можно вставить функцию в рабочий документ, выбрав нужное имя из списка функций, можно ввести имя функции с клавиатуры или, для наиболее часто используемых функций, вставить имя функции щелчком по кнопке в панели инструментов. Таким образом, во всех трех случаях соблюдается один и тот же порядок действий:

• выбор операции производится щелчком мыши по пункту меню или по кнопке в панели инструментов, после чего, если нужно, пользователь получает доступ к ниспадающему меню или к дополнительной панели

• когда операция выбрана, пользователь вводит необходимую информацию в окне диалога или заполняет помеченные поля в поле ввода, которое открывается непосредственно в рабочем документе

1.4. Панели инструментов Mathcad

В окне Mathcad удобно разместить три кнопочные панели инструментов (рис. 1.12). Верхняя — панель, большая часть кнопок которой стандартные для windows-приложений кнопки работы с файлами и текстом.

Средняя — панель Format Bar (Панель форматирования), содержащая кнопки выбора шрифтов, размеров шрифтов, стиля (полужирный, наклонный, с подчеркиванием), а также кнопки форматирования текста на странице (выравнивание по левому краю, центрирование и выравнивание по правому краю);

Нижняя — панель Math (Математика), каждая кнопка которой открывает дополнительную панель, содержащую кнопки операций с математическими объектами определенного класса.

Правила работы со всеми панелями одинаковы: щелчком по кнопке открываем вспомогательную панель, щелчком по кнопке выбираем в ней нужную операцию и заполняем в рабочем документе помеченные позиции для ввода данных, аргументов или параметров операции.

Панель Math (Математика). Это панель математических инструментов — наиболее часто используемая панель, поскольку именно здесь расположены кнопки вычислительных операций и операций конструирования вычислительных процедур.

Панель математических инструментов содержит девять кнопок, каждая из которых открывает дополнительную панель математических операций. Ниже просто перечислены кнопки панели математических операций.

Практическое занятие 2

Задачи линейной алгебры

 

Задача 1. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Кремера решение системы:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Введите столбец свободных членов:

5) Вычислите определитель матрицы системы:

6) Вычислите определители матриц ?i, полученных из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

7) Найдите решение системы по формулам Кремера:

 

Задача 2. Решите как матричное уравнение Ax=b систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Вычислите решение системы по формуле , предварительно вычислив определитель матрицы системы:

5) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

6) Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений:

 

Задача 3. Найдите методом Гаусса решение системы линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы, используя функцию augment(A,b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец свободных членов b:

5) Приведите расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя функцию rref(Ar), которая приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы метода Гаусса:

6) Сформируйте столбец решения системы, используя функцию submatrix(Ag,1,4,5,5), которая выделяет блок матрицы Ag, расположенный в строках с 1-ой по 4-ый и в столбцах с 5-го по 5-ый (последний столбец):

7) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

 

Задача 4. Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Вычислите ранг матрицы системы:

5) Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:

6) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

7) Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных:

8) Запишите общее решение системы:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

 

Задача 5. Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы:

5) Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

6) Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:

7) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:

8) Запишите общее решение:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

 

Практическое занятие 3

Построение графиков функций

С помощью системы Mathcad довольно просто строить графики функций самого различного вида. Рассмотрим алгоритм построения графика на простом примере.

Возьмем функцию y=sin(x)^3.

1. Bведем функцию, набрав выражение:

2. В панели математических знаков щелкнем на кнопке с изображением графика - на экране появится палитра графиков.

3. В палитре графиков щелкнем на кнопке с изображением двумерного графика – на экране появится шаблон графика.

4. Введем в место ввода шаблона по оси Х имя независимой переменной – х, а в место ввода шаблона по оси У имя зависимой переменной – у(х).

5. Щелкнем вне пределов графика левой кнопкой мыши. График построен.

 

Попробуйте самостоятельно построить график функции y=cos(x)+3, где х изменяется от –10 до 20, а y от 0 до 10.

 

Попробуйте увеличить построенный вами график и немного сместить его. Для этого проделайте следующее:

1. Поместите указатель мыши в область графика и щелкните левой кнопкой мыши – вокруг графика появится рамка из черных линий, обрамляющая блок графика.

2. Подведите указатель мыши к черному квадратику (маркеру изменения размера) в правом нижнем углу рамки, при этом указатель мыши должен превратиться в двухстороннюю диагональную стрелку.

3. Нажав левую кнопку мыши, растяните график по диагонали, а затем зафиксируйте размер, отпустив кнопку мыши.

4. Наведите указатель мыши на любую сторону рамки (кроме квадратиков), при этом указатель должен превратиться в черную ладошку.

5. Нажав левую кнопку мыши, передвиньте весь блок графика в желаемом направлении и зафиксируйте местоположение, отпустив кнопку мыши.

В итоге получится увеличенный и перемещенный график. Убрать рамку можно, отведя указатель мыши в сторону от графика и щелкнув левой кнопкой мыши.

! Обратите внимание: когда график находится в рамке, на нем в уголках появляются числа, указывающие масштаб графика по осям Y и X. По умолчанию по оси Х график строится на отрезке изменения аргумента х от –10 до +10. Масштаб по оси Y MathCad устанавливает автоматически. Изменив эти числа, можно задать свой масштаб графика.

 

Попробуйте изменить масштаб на построенном вами графике.

Отрезок по оси Х можно задать и заранее (до построения графика). Для этого после задания функции нужно указать диапазон изменеия аргумента х.

Пример:

       

В этом примере вы можете задать свой масштаб, изменив диапазон значений аргумента х.

Обратите внимание, что MathCad автоматически отображает каждую кривую своим стилем и цветом. Однако стиль и цвет кривой можно изменить.

 

Практическое занятие 3

Предел функции. Дифференцирование

Три нижних кнопки инструментальной панели Calculus

предназначены для вычисления пределов функций.

Попробуем вначале вычислить замечательные пределы.

1.

2.

Как видно, получен вполне удовлетворительный результат.

Можно вычислить также пределы слева и справа.

Так предел функции при x -> -0 равен 0, а при x -> +0 стремится к бесконечности.

Вычисление предела - это операция символьной математики и поэтому завершается символом стрелки вправо ->.

Дифференцирование

По определению, производная функции есть:

Вычислим по определению производную функции

при

В Mathcad для вычисления производной используется палитра Calculus. Так, для решения той же задачи мы могли написать:

Причём символ дифференцирования выбирается только с палитры.

вводить его "вручную" нельзя.

Заканчивается операция дифференцирования знаком =, если вы хотите получить численное значение производной в точке, и значком ->, если

необходимо получить символьное значение.

Рассмотрим несколько примеров:

но, поскольку переменная х определена

можно вычислить и довольно экзотическую производную

Исследование функций

Предел функции и производную можно использовать для исследования функций. Мы не будем рассматривать полную схему исследования, вычислим лишь точки экстремума и найдём наклонные асимптоты.

Рассмотрим функцию

на интервале

Вычислим производную:

В точке локального максимума

Разрешим это уравнение

Наклонная асимптота определяется уравнением:

Вычислим

и построим на том же графике асимптоту.

Можно ещё вычислить предел производной в точке х=0 слева и справа.

В нуле функция непрерывна, но производная имеет разрыв второго рода.

Рассмотрим ещё одну задачу. Необходимо построить эллипс,

касательные и нормали к нему в точках (), ().

Для простоты запишем уравнение эллипса в параметрической форме:

Положим , для точки , и вычислим угловой коэффициент касательной.

свободный член уравнения

Угловой коэффициент нормали вычисляется как

и свободный член

-касательная

-нормаль

Нормаль и касательную в т. () постройте самостоятельно.