Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
Задание: Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка на равномерной сетке отрезка [a;b] методом Адамса-Башфорта с шагом 0,1:
1)
,
,
,
2)
,
,
,
3)
,
,
,
4)
,
,
,
5)
,
,
,
6)
,
,
,
Пример:
,
,
,
Лабораторная работа23
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей
Задание: Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью
;
шаг
;
Вариант №1
;
;
Вариант №2
;
;
Вариант №3
;
;
Вариант №4
;
;
Образец выполнения задания:
;
;
Разбив
отрезок 
на части с шагом 
,
получим четыре узловые точки с
абсциссами:
.
Две точки являются конечными, а две
другие внутренними. Данное уравнение
во внутренних точках замени
конечно-разностным уравнением:
.
Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:
Данная задача сводится к решению системы уравнений:
Выполнив преобразования, имеем:
Поставив
значение 
в третье уравнение, получим для определения
остальных неизвестных систему:
Для решения полученной системы воспользуемся, например, схемой «главных элементов».
|
|
|
|
|
Свободные члены |
|
|
-0,00113507 0526788 -1 |
-2,9 375,9 0 |
4 -841 391,6 |
-1 464,1 -881 |
0,1 4,2 -1045,66 |
0,2 3,2 -1535,06 |
|
0,00560179 -1 |
-2,9 375,9 |
3,55551 -643,7098 |
- - |
1,28690 -546,6411 |
1,94240 -805,4511 |
|
-1 |
-0,79429 |
- |
- |
-1,77527 |
-2,56957 |
|
|
2,2350 3,2351 |
2,1849 3,1849 |
2,1580 3,1580 |
|
|
Ответ:
|
x |
y |
x |
y |
|
2.0 2.1 |
2.235 2.185 |
2.2 2.3 |
2.185 2.150 |
Лабораторная работа 24
«Численные методы поиска минимума функции нескольких переменных»
1.Минимизировать
функцию в Е^2 методом градиентного спуска
с дроблением шага (
=0,05)
1)f(x,y)=2x+y+
2)
f(x,y)=1.5x+1.1y+
3)
f(x,y)=0.5x+2y+
4)
f(x,y)=1.8x+0.4y+
5)
f(x,y)=3x+2y+
Пример:
Следим,
чтобы выполнялось условие монотонности
<
и вычисляем, пока не будет выполняться
условие 
В
качестве начального приближения 
и 
=1.
k=0;
;
;
;
=1;
=
-
=(0,
0) – (1, 1) =(-1 , -1)
>
- условие монотонности нарушено
Уменьшаем
в 2 раза 
=0.5
=
–
0,5
=
>
- условие монотонности нарушено
Уменьшаем
в 2 раза 
=0.25
=(0,
0) –0.25 (1,1)=(-0,25,-0,25)
<
- условие монотонности выполняется
Условие
останова не выполнено.
=(-0,25,-0,25),
=0,25
=(-0,25,-0,25)-0,25
=(-0,277,-0,152)
<
- условие монотонности выполняется
Условие
останова не выполнено.
=(-0,277,-0,152)
=0,25
=(-0,277,-0,152)-0.25
=(-0.301,-0.162)
<
- условие монотонности выполняется
Условие
останова выполнено.
=(-0.301,-0.162)
, 
2.Минимизировать
квадратичную функцию в Е^2 методом
наискорейшего спуска(
=0,01):
Квадратичная
функция имеет вид:
f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная,
положительно определенная матрица n*n,
x 
Е^2,b
Е^2.
Ax=
;
(Ax,x)=
+
;
(b,x)=
Для
случая Е^2 
Пример:
В
качестве начального приближения 
A=
;
b=
то 
=0,227273
=
–
0,227273
=
=
Условие
останова не выполнено
=0.625
=
–
0.625
=
=
Условие
останова выполнено.
=
,
1)
A=
;
b=
2
)A=
;
b=
3
)A=
;
b=
4
)A=
;
b=
5)
A=
;
b=
3. Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом сопряжённых градиентов:
Примеры:
1.
2.
3.
4.
5.
Квадратичная
функция имеет вид:
f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x);
A-симметричная,
положительно определенная матрица n*n,
x 
Е^2,b
Е^2.
Ax=
;
(Ax,x)=
+
;
(b,x)=
Пример:
f(x) – квадратичная функция в E^2. Поэтому x* должна быть найдена после 2-х итераций метода сопряжённых градиентов.
.
.
.
Пусть
начальное приближение 
.
1-ая итерация: k=0
1.
2.
Решаем
задачу минимизации 
по α. Из условия минимума
получим 
.
Отсюда находим
3.
4.
5.
Условие остановки не выполнено.
2-ая итерация: k=1
6.
7.
8.
Решаем
задачу минимизации 
по α. Из условия минимума
получим
9.
10.
11.
,
тогда x*=
–
решение задачи.