Механічні коливання і хвилі. Біоакустика

Механічні коливання, що відбуваються під дією сили, пропорційної зміщенню і напрямленої до положення рівноваги, називаються гармонічними коливаннями і описуються гармонічним законом:

(2.13)

Тут  – зміщення тіла (точки) від положення рівноваги,  – амплітуда,  - циклічна частота,  – період,  - початкова фаза.

Швидкість  коливань тіла (точки):

(14)

З рівняння (14) випливає, що швидкість коливання змінюється з часом. Отже, коливальний рух відбувається з прискоренням :

(15)

 

Рис. 2.13

 

Для наочності, зміна ,  і  з часом (при гармонічному коливанні), розраховані по формулах (2.13-2.15) при  представлені на рис. 2.12.

Коли на тіло діє лише сила пружності:

(16)

тут  – коефіцієнт жорсткості, тоді згідно з другим законом Ньютона, враховуючи (2.15) одержимо:

(17)

Позначивши через , отримуємо диференціальне рівняння гармонічного коливання:

(18)

Розв’язком цього рівняння є функція  – задана формулою (13).

Оскільки всередині коливальної системи завжди присутня сила тертя, то гармонічні коливання будуть затухати і з часом зовсім зникнуть. При невеликих швидкостях руху можна вважати, що сила тертя пропорційна швидкості руху тіла:

(19)

де  – коефіцієнт опору середовища. Тоді другий закон Ньютона, для розглядуваного випадку, запишимо у вигляді:

(20)

Позначивши  ( - коефіцієнт затухання), отримаємо диференціальне рівняння затухаючих коливань:

(21)

розв’язком якого є функція  (рис. 2.14):

(22)

 

Рис.2.14

де .

Залежність зміни амплітуди з часом має вигляд:

(23)

 

і графічно показана на рис. 2.14.

Період затухаючих коливань визначається за формулою:

(24)

Відношення двох сусідніх амплітуд, розділених інтервалом часу, рівним періоду коливань, називається декрементом затухання і позначається буквою дельта:

(25)

У практиці частіше використовують логарифмічний декремент, який за визначенням:

(26)

Коливанням, які виникають в системі при дії зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом, називаються вимушеними коливаннями.

Якщо на матеріальну точку крім квазіпружної сили і сили тертя діє зовнішня вимушуюча сила

,

(27)

де F₀ – її амплітуда,  - кругова частота вимушуючої сили, то другий закон Ньютона матиме вигляд:

,

(28)

або

(29)

де _.

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

(30)

_де

,

(31)

Резонансна кругова частота, при якій зміщення досягає максимальної амплітуди визначається за формулою:

(32)

Амплітуда при резонансі дорівнює:

(33)

Залежність амплітуди коливань від частоти представлена на рис.2.15 ().

Рис. 2.15

При дії зовнішніх механічних коливань, резонансні коливання відбуваються і у внутрішніх органах. У цьому, очевидно, одна з причин негативного впливу інфразвукових коливань і вібрацій на організм людини.

Існують коливальні системи, у яких підтримуються незатухаючі коливання власної частоти. Такі системи називаються автоколивальними, а коливання, що в них відбуваються – автоколиваннями.

Механічні хвилі. Звук. Процес поширення коливань у пружному середовищі називається хвилею. Механічною хвилею називають механічні коливання, що поширюються у просторі і несуть енергію.

Розрізняють два основні види механічної хвилі: пружні хвилі – поширення пружних деформацій – і хвилі на поверхні рідини.

У будь – якій точці, розміщеній на відстані х від першої в напрямку поширення хвилі, зміна величини  відбувається також за гармонічним законом, проте з запізненням на час , де  - швидкість поширення хвилі.

Запишемо рівняння плоскої хвилі:

(34)

Провівши вказані нижче перетворення:

, ;
,

Отримуємо диференційне рівняння хвилі, яке називають хвильовим рівнянням

(35)

Хвилі переносять енергію. Кількість енергії в одиниці об’єму середовища називається густиною енергії:

(36)

Пружною хвилею, коли коливання одних частинок середовища спричиняють коливання сусідніх частинок переноситься повна енергія:

(37)

Густина енергії:

,

(38)

де  - густина середовища.

Для характеристики енергії хвилі використовують такі фізичні величини як потік енергії хвилі і інтенсивність енергії хвилі.

Потік енергії хвилі – кількісна характеристика перенесеної енергії, яка дорівнює відношенню енергії , яка переноситься хвилями через поверхню до часу , протягом якого вона переноситься:

(40)

Одиницею потоку енергії хвиль в системі СІ є Ват(вт).

Інтенсивність енергії хвиль чисельно дорівнює потокові енергії хвилі, яка переноситься через одиницю площі поверхні розташованої перпендикулярно до напряму поширення хвилі:

(41)

Одиницею інтенсивності енергії є _.

Знайдемо зв’язок між потоком енергії хвиль  енергією коливних точок і швидкістю поширення хвилі. Виділимо об’єм середовища , в якому поширюються хвилі у вигляді прямокутного паралелепіпеда (рис. 2.16); з площею основи , з довжиною ребра , яке співпадає з напрямом поширення хвилі. За 1с через основу паралелепіпеда пройде та енергія, яку мають частинки в об’ємі паралелограма . Це і є потік енергії хвиль.

(42)

 

Тоді

(43)

Вектор І, який показує напрямок поширення хвиль і рівний потоку енергії хвиль, який проходить через одиничну площу, перпендикулярну цьому напрямку, називають вектором Умова.

Вектор Умова для пружної хвилі залежить від густини середовища, квадрата амплітуди коливань частинок, квадрату частоти коливань і швидкості поширення хвилі.

Звук – це хвильовий процес. Власне звуком називають механічні хвилі, частота яких лежить у межах 16-20000 Гц. Механічні хвилі з частотою меншою 16 Гц називають інфразвуковими, а більшою від 20000 Гц – ультразвуковими. У твердих тілах звук поширюється у вигляді поздовжніх і поперечних хвиль. Оскільки рідини і гази практично не мають пружності зсуву, то в таких середовищах звук поширюється лише у вигляді поздовжніх хвиль. У газах і рідинах звукові хвилі є періодичними згущеннями і розрідженнями середовища, що віддаляються від джерела звуку з певною характерною для даного середовища швидкістю.

Всі звуки можна поділити на :

1.     тони або музичні звуки;

2.     шуми;

3.     звукові удари.

Тони характеризуються періодичними коливаннями. Якщо коливання гармонічні, то тони називаються простими або чистими. Періодичні негармонійні коливання характеризують складний тон. Складний тон характеризується гармонічним спектром. Складний тон можна розкласти на прості. Найменша частота  такого розкладу відповідає основному тону, інші гармоніки (обертони) мають частоти, крайні : , ,  і т. д. Набір частот, що утворюють складний тон з вказівкою їх відносної інтенсивності, називається гармонічним акустичним спектром.

Шумом називається звук, що відрізняється складною, неповторюючою часовою залежністю.

До шуму відносяться звуки від вібрації і руху машин, скрип, аплодисменти, шелест, приголосні звуки мови і т.п.

Звуковий удар – це короткочасна звукова дія: стук, оплески, вибух і т.п.

Звук характеризують інтенсивністю (звуковий тиск), частотою, гармонічним спектром, за суб’єктивним відчуттям розрізняють такі характеристики звуку: гучність, тембр і висоту.

Інтенсивність плоскої хвилі пов’язана зі звуковим тиском залежністю:

(44)

де  - густина середовища,  – швидкість звуку. Добуток швидкості с звуку в даному середовищі на густину  середовища називається питомим акустичним опором середовища  і є основною характеристикою її акустичних властивостей. Для повітря (за нормальних умов)