4.2 Многоклассовая задача

Уже упомянутая в выражении (3) матрица модифицируются для решения трехклассовой задачи следующим образом:

(5)

Появившийся коэффициент в общем виде записывается как и отражает число классов, в нашем случае 3: ФЖ, ЖТ, НР. Средний внутриклассовый разброс также подлежит перерасчету относительно всех трех классов разом . Классификация подразумевает нахождение весовых векторов и и проецирование исходных данных в новое пространство признаков, где классы хорошо разделимы.

Для нахождения весовых векторов воспользуемся следующей формулой:

(6)

где равняется 2 наибольшим собственным числам, для которых и приходятся собственными векторами.

Рисунок 11 – Проекция объектов на плоскость в пространстве признаков W₁ и W₂

Запишем получившиеся в результате нахождения собственных векторов и чисел произведения (6) коэффициенты весовых векторов:

W1 = [-0.0179; -0.0541; -0.0213; 0.1513; 0.2360; -0.0176; -0.3387; -0.2238; 0.0427; 0.4325; 0.2248; 0.2020; -0.0872; -0.4694; -0.4944] при = 4.3;

W2 = [0.0311; -0.0900; -0.1188; 0.0576; -0.0322; -0.0923; -0.3598; -0.1684; 0.0174; -0.1235; -0.3679; 0.2126; 0.7729; -0.1123; 0.0085] при = -3.6;

Запишем уравнения дискриминантной функции и соответствующие им решающие правила.

= –0.0179(x₁) – 0.0541(x₂) – 0.0213(x₃) + 0.1513(x₄) + 0.236(x₅) – 0.0176(x₆) – 0.3387(x₇) – 0.2238(x₈) + 0.0427(x₉) + 0.4325(x₁₀) – 0.2248(x₁₁) + 0.2020(x₁₂) – 0.0872(x₁₃) – 0.4694(x₁₄) – 0.4944(x₁₅) – 4.3 = 0;

Если полученная скалярная проекция искомого вектора X на весовой вектор W1 больше, чем пороговое значение , то данный объект принадлежит классу ФЖ.

= 0.0311(x₁) – 0.0900(x₂) – 0.1188(x₃) + 0.0576(x₄) – 0.0322(x₅) – 0.0923(x₆) – 0.3598(x₇) – 0.1684(x₈) + 0.0174(x₉) – 0.1235(x₁₀) – 0.3679(x₁₁) + 0.2126(x₁₂) + 0.7729(x₁₃) – 0.1123(x₁₄) + 0.0085(x₁₅) – 3.6 = 0;

Если полученная скалярная проекция искомого вектора X на весовой вектор W2 меньше, чем пороговое значение , то данный объект принадлежит классу ЖТ, иначе к НР.

Проведем оценку точности, чувствительности и специфичности алгоритма классификации по критерию Фишера для трехклассовой задачи задачи (см. таблицы 9-11).

Таблица 9 – Оценка ошибок классификации по проекциям на W1

Этап классификации	TP	FP	TN	FN	Чувствительность, %	Специфичность, %	Точность, %
Выделение ФЖ	30	0	60	0	100	100	100

Таблица 10 – Оценка ошибок классификации по проекциям на W2

Этап классификации	TP	FP	TN	FN	Чувствительность, %	Специфичность, %	Точность, %
Выделение ЖТ	29	0	30	1	96.6	100	98.3

Таблица 11 – Сводная таблица оценок ошибок классификации

Истинный класс	Число объектов	Результат распознавания
		НР	ЖТ	ФЖ
НР	30	30	0	0
ЖТ	30	1	29	0
ФЖ	30	0	0	30

Вывод: при использовании метода классификации по критерию Фишера (двухклассовая задача) точность на первом этапе и на втором этапе достигла 100 %, что значительно превышает результаты, полученные классификацией по критерию минимума расстояний. Для гауссовского распределения точность на первом и втором этапе составили соответственно 99.8 % и 98.6 %. На обоих этапах классификации проекции классов практически не пересекаются, что и объясняет удивительно высокие показатели точности. При решении трехклассовой задачи была достигнута 100 % точность в определении опасной фибрилляции и нормального фонового ритма, однако показатель снизился до 98.3 % при детекции пограничного состояния трепетания желудочков сердца. Общая точность составила 98.8 %.