Vιι Однородные системы линейных уравнений.

Определение 1. Система линейных уравнений называется однородной, если она имеет нулевой столбец свободных членов.

Т.е. однородная система линейных уравнений это

(S₀)

Заметим, что однородная система линейных уравнений всегда совместна. Действительно, для любой системы линейных уравнений решением будет набор (0.0,…,0) (т.е .)

Теорема 1. (Свойства решений однородной системы линейных уравнений).

Если однородная система (S₀) имеет бесконечно много решений, то сумма двух решений - снова решение, и произведение решения на число - решение. (Отсюда следует, что любая ЛК комбинация решений является решением).

Доказательство. Рассмотрим (S₀) с тремя неизвестными и двумя уравнениями (для простоты записи)

(1)

Пусть и - два решения системы (1), тогда по определению решения

верные числовые равенства

Рассмотрим += ()

Подставим в систему (1)

Получим () +()+() =+= 0 + 0 = 0

Т.е. оба уравнения обратились в верные числовые равенства, значит +-решение (1)

Пусть - число, рассмотрим

Подставим в(1). Получим ==0 = 0

= =0 = 0

Значит - решение (1).

Теорема 2. Если в системе (S₀) количество неизвестных больше количества уравнений , то система имеет ненулевое решение.

Доказательство. Действительно, по теореме о числе решений, т.к. ранг основной равен рангу расширенной и меньше количества неизвестных, то существует бесконечно много решений. Значит есть ненулевое.

Заметим, что для (S₀) ранг основной всегда равен рангу расширенной. Надо считать столбцевой ранг, а расширение идет за счет нулевого столбца.

Теорема 3. Если в системе S₀ k = n (количество уравнении равно количеству неизвестных), то система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы равен нулю.

Теорему 3 мы доказывать не будем. Для ее понимания см Теорему 1 п. 1V (перед правилом Крамера).

Аналитическая геометрия. Ι Уравнение прямой на плоскости.

у

М(х,у)

B(0,b)

N(x,b)

b рис. 1

A(x,0) х

Пусть прямая пересекает ось ОY в точке В (0;b) и образует с осью ОX угол (см рис.1). Возьмем на прямой произвольную точку М (х;у). Проведем BN параллельно оси ОХ, MN параллельно оси ОУ. Из треугольника MBN

tg. Пусть tg= k

k = ,т.е. kx = y - b, y = kx + b.

(можно показать справедливость формулы и при )

Итак, мы показали, что координаты точек, лежащих на прямой, удовлетворяют уравнению у=кх + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом (к - угловой коэффициент).

Пусть прямая проходит через две точки А (х₁;у₁) и С (х₂;у₂), тогда координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой у = кх + b. Получаем и - верные числовые равенства. Отсюда и

Т.е.

=

b =

Подставим найденные k и b в уравнение прямой, получим

y = или y - y₁= или y - y₁

-уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Из уравнения у = кх + b получим уравнение кх - у + b = 0 или, как принять писать,

Ax + By +C = 0 - общее уравнение прямой.