Ιv Системы линейных уравнений.

Система k линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

(S)

где а_ij- коэффициенты при неизвестных х₁, х₂,… х_n.

b_i - свободные члены.

Определение 1. Решением системы (S) называется такая совокупность (упорядоченный набор или вектор) n чисел, (с₁,с₂, …, с_n), что подставив в систему (S)место х₁ - с₁, вместо х₂ - с₂…, вместо х_n - c_n получим, что все уравнения системы обратились в верные числовые равенства.

Система (S) называется совместной, если она имеет решение.

Определение 2. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Обозначим А = - основная матрица cистемы (S),

X = -столбец неизвестных,

В = - столбец свободных членов.

Рассмотрим АХ =

На основании определения равенства матриц можно систему (S) переписать в матричном виде АХ = В.

Теорема 1. Если матрица А обратима, то система АХ = В имеет единственное решение.

Доказательство. Пусть есть 2 решения С = и D = ,тогда АС = В и АD = В

Следовательно, АС = АD. Домножим обе части равенства на А^-1 слева получим

А^-1 АС = А^-1 АD, EC = ED, С = D.

Теорема 2 (правило Крамера). Пусть в системе (S) k = n (количество уравнений равно количеству неизвестных) и detA ≠ 0. Тогда система (S) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера , где = detA, получен из заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Т.к. detA ≠ 0? Следовательно матрица А имеет обратную А^-1 . Из матричной замены системы АХ = В следует А^-1 АХ = А^-1 В, т.е. ЕХ = А^-1 В.

Тогда X = =

Следовательно x

x

Здесь

Рассмотрим определитель порядка 3 для простого вычисления

по формуле разложения по первому столбцу

по формуле разложения по второму столбцу

по формуле разложения по третьему столбцу.

Отсюда следует справедливость формул Крамера.

Единственность решения следует из теоремы 1.

Пример 1. Решить систему уравнений.

Значит можно применить формулы Крамера.

Проверка. Подставим=4,=2,=1в систему

верно

Ответ (4;2;1).

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - метод последовательного исключения неизвестных.

Определение 3. Элементарными назовем следующие преобразования системы линейных уравнений:

1. поменять два уравнения местами

2. умножить уравнение на любое ненулевое число

3. к любому уравнению системы прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на любое число

4. поменять две переменные (одно и то же во всех уравнениях) местами

5. убрать из системы нулевое уравнение, т.е. уравнение вида

6. из нескольких одинаковых уравнений системы оставить только одно, остальные убрать.

Теорема 3. После применения элементарных преобразований к системе линейных уравнений получим систему, равносильную данной.

Теорема 4. (метод Гаусса решения систем линейных уравнений)

Любую систему (S) линейных уравнений при помощи элементарных преобразований, проведенных по методу Гаусса (см. метод Гаусса для вычисления определителей) можно привести к одному из трех следующих видов

1. треугольная - количество уравнений равно количеству неизвестных, в первом уравнении есть, во втором уравнении нет, но есть, в третьем уравнении нет, но есть, и т.д., в последнем уравнении есть только, такая система имеет единственное решение

2. трапециидальная - количество уравнений меньше количества неизвестных, а в остальном вид как у треугольной, в последнем уравнении несколько переменных, такая система имеет бесконечное множество решений

3. в системе есть “особое” уравнение - уравнение вида 0+ 0+… +0=bтакая система несовместна.

Преобразования системы линейных уравнений методом Гаусса удобно вести, осуществляя преобразования не над уравнениями, а только над коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

Для этого рассмотрим расширенную матрицу системы.

Пример 2. решить “треугольную” систему линейных уравнений

Из последнего уравнения ,из предпоследнего. Подставим иво второе уравнение, найдем.

3= 12+ 6- 9= 12 + 64 - 94 = 12 + 24 - 36 = 0

= 0

Подставим , ,в первое уравнение и найдем .

= 1 - 2- 3+= 1 + 0 -12 +4 = -7

Проверка

Ответ (-7;0;4;4)

Пример 3. Решить трапециидальную систему.

Из последнего уравнения мы можем выразить только одно неизвестное=3--2-.При этом , ,называют свободными переменными. Они принимают произвольные значения. Отсюда и бесконечное множество решений.

Из первого уравнения=5-+-.Подставим, =5-3++2++-=2++3.Количество свободных переменных определяется по формуле n-r, где n - количество неизвестных в системе, r - количество оставшихся уравнений после приведения системы к трапециидальному виду. У нас n=5, r=2. 5-2=3 - свободных переменных.

Общее решение: (2++3; 3--2-;;;),,,

Частные решения: (получаются из общего решения, если вместо свободных переменных подставить числовые значения). =0,=0,=1 (2;3;0;0;1)

=1, =1,=0 (6;0;1;1;0).

Пример 4. Решить систему уравнений.

Выпишем расширенную матрицу системы.

~~~~~~~

Получим треугольную систему

Из третьего уравнения = - 6 += - 6 - 2 = - 8,= -1.Из второго уравнениям = 7 - 5+ 4= 7 + 5 -8 = 4,= 2.Из первого - = 6 - 2- 3+2= 6 - 4 + 3 - 4 = 1

Ответ (1;2;-1;-2)

Пример 5. Решить систему.

~~

Получили систему

с “особым” уравнением. Система несовместна.

Пример 6. Решить систему.

~ ~~~

Система имеет 4 неизвестных (n=4) и 2 уравнения r = 2. Свободных неизвестных будет

4 - 2 = 2.

Пусть,-свободные переменные.

Тогда = -,подставим в первое уравнение и выразим

= -6 + 2- 3- 2= -6 +2- 3+- 2+=-

Общее решение: (-; -;;).

Частные решения =1,=0 (;;1;0)

=1,=1 (;;1;1).