Ιιι Обратная матрица.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц.

Определение 1. Матрицы В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е.

Матрица, имеющая обратную, называется обратимой. Обратная матрица обозначается А^-1.

Свойства обратной матрицы.

1^˚. Если В обратна к А, то А обратна к В.

Доказательство этого свойства следует непосредственно из определения. Таким образом, имеем (А^-1) ^-1 = А

2^˚. Если у матрицы А есть обратная, то она единственна.

Доказательство. Пусть Х и Y - две матрицы, обратные к А. Тогда XA = AX = E и YA = AY = E.

Рассмотрим X(AY) = XE = X.

С другой стороны X(AY) = (XA)Y = EY = Y.

Следовательно Х = У.

3^˚. Если матрицы А и В имеют обратные, то АВ имеет обратную, причем (АВ) ^-1 = В^-1А^-1.

Доказательство.

Явная формула обратной матрицы.

Пусть дана матрица

Пусть матрица А имеет ненулевой определитель. Тогда обратную к A матрицу можно найти по формуле

где - определитель матрицы А, - алгебраическое дополнение к элементам

матрицы А. Т.е. =,здесь- определитель, полученный из определителя матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Доказательство формулы.

Для того, чтобы доказать, что эта формула задает обратную для А, необходимо показать, что . Сделаем это для матрицы порядка 3. (В общем случае доказательство точно такое же).

=

Здесь по главной диагонали стоит сумма произведений элементов j-того столбца на их алгебраические дополнения, тогда по теореме о разложении по любому столбцу это выражение равно определителю матрицы А. Вне главной диагонали стоит сумма произведений элементов j-того столбца на алгебраические дополнения к элементам к-того столбца (на месте kj), а это равно нулю по теореме о разложении по любому столбцу.

Применяем теорему о разложении по любой строке.

Например, ++= 0как сумма произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения к элементам второй строки, + += 0как сумма произведений элементов третьей строки на алгебраические дополнения к элементам второй строки, + +=как сумма произведений элементов второй строки (на свои) на алгебраические дополнения к элементам второй строки.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Теорема 2. (критерий обратимости). Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную. Тогда . Тогда det,detE = 1. det= detA (по теореме1). Следовательно

detA= 1. Значит detA.

Достаточность. Пусть определитель матрицы А отличен от 0. Тогда

Значит обратная матрица для А существует.

Нахождение обратной матрицы по методу Гаусса.

Рассмотрим следующие преобразования матрицы А:

1. поменять 2 строки местами

2. умножить строку на ненулевое число

3. к любой строке прибавить другую строку, умноженную на любое число.

К матрице А порядка n припишем единичную матрицу того же порядка

Применим к матрице (А|E) метод Гаусса (аналогично тому, как описано при вычислении определителя по методу Гаусса) так, чтобы на месте матрицы А получить единичную матрицу. То, что при этом получится на месте матрицы Е, будет обратной к А. Здесь можно применять только преобразования строк.

Пример 1. Показать, что матрица Аобратима и найти ее обратную

(Метод присоединения матрицы).

Вычислим определитель detA = 64 + 25 - 70 - 24 = -5 0.Т.к. определитель отличен от нуля, то А имеет обратную, т.е. обратима.

Проверка:

A

Пример2. Решить матричное уравнение AX + B = C, где А = ,

В = , С = .

Вычислим detC = (-2)(-4) - (-1)(-7) = 8 - 7 = 10

detA = (-2)(-3) – 15 = 6 - 5 = 10.

Значит матрицы С и А - обратимы. Найдем из уравнения матрицу Х.

AX = C- В

А(АХ) = А( C-В)

(АА)Х = А( C-В)

ЕХ = А( C-В)

Х = А( C-В)

Находим А^-1:

Находим C^-1:

C^-1- B =

X = A( C- B) =

Проверка. Подставим Х в исходное уравнение

Пример 3. Найти обратную к А методом элементарных преобразований (методом Гаусса)

~ ~

поменяем первую и четвертую строки меняем местами. Умножим первую строку на (-2) прибавим ко второй и четвертой, домножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей

~~

чтобы не переходить к дробным компонентам домножим четвертую строку на (-2) и прибавим ее ко второй строке.

~~~ ~~

Ниже главной диагонали стоят только нулевые элементы. Проведем “обратный ход” снизу вверх, чтобы получить над главной диагональю нулевые элементы.

~~~

Четвертую строку умножим на (-4) и прибавим к третьей, четвертую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй и к первой.

~

Таким образом

Можно сделать проверку. AА^-1 должно равняться Е.