Ι Физический смысл производной.
Пусть точка движется по закону S = S(t) S - пройденный путь, t - время. Необходимо найти скорость точки в момент времени t0.
К
моменту t0
пройденный
путь равен S0
= S(t0)
а
к моменту t0
+
-путь
S0
+
=S(t0
+
)
Тогда
за промежуток времени
средняя
скорость
будет
.Чем
меньше
,
тем
лучше средняя скорость характеризует
движение точки в момент t0.
Поэтому
под скоростью в момент t0
естественно
понимать предел средней скорости за
промежуток от t0
до
t0
+
когда
,
т.е.
=
lim
= lim
=
∆t
∆t
(
-значение
производной от функции S(t)
в
точке
t0).
Ι Определение производной.
Пусть
задана функция у = f(x)
на
[a,b]
(т.е.
).
Возьмем
точку
x0
[a,b],
придадим
значению
x0
“очень
малое” (∆х
)
приращение
∆х,
тогда
функция у = f(x)
получит
приращение ∆
-
.
Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменой при стремлении приращения независимой переменно к нулю (если этот предел существует и конечен).
=
∆х
∆х
Обозначения
производной y’,
,
,
Таким образом:
Геометрический
смысл производной: угловой коэффициент
касательной, проведенной к кривой в
точке М0
(x0,y0,),
равен
значению
производной
в точке x0.
Физический
смысл производной: значение производной
в
точке t0
есть
мгновенная скорость материальной точки
в момент времени t0.
Таблица производных.
|
(un)’ = nun-1u’ (cosu)’= -sinu u’
(tgu)’
=
(ctgu)’=
-
(arcsinu)’
=
(arccosu)’=
(arctgu)’=
(arcctgu)’=
-
(au)’
= aulna
(eu)’
= eu
(logau)’
=
(lnu)’
=
|
)’=
-sin
)’
=
)’=
-
)’
=
)’=
)’=
)’=
-
)’
=
)’
=
Правая часть таблицы - это производная сложной функции (получается из теоремы о производной сложной функции).
Правила дифференцирования.
(cu)’ = cu’
(u
)’
= u’
’
(uv)’ = u’v +uv’
.
Пример 1. Вычислить производную.
a)
y = tg2
,
y’ =
б)
y = ln(x2
+ 1), y’ =
в)
y = sin5
+
arctgex
, y’ = (sin5
)’
+ (arctgex)’
= 5cos5
+
г)
(cos3
)’
= 3cos2
(cos
)’
= 3cos2
(-sin
)
д)
=
=
Ι Неопределенный интеграл.
Определение
1.
Функция
F(x)
называется
первообразной функцией для функции
f(x)
на
[a,b],
если
в каждой точке x
[a,b]
F’(x)
=
(x)
Например
F(x)
= -cos
является
первообразной для функции f(x)
= sin
,
функция
x3
является
первообразной для функции
3x2
, т.к.
(x3)’
= 3x2
Теорема 1. Если функция f(x) определена на [a,b], имеет на этом отрезке производную f’(x), и f’(x) = 0 на [a,b], то f(x) = const.
Теорема 2. Если F1(x) и F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором отрезке [a,b], то существует такое число с, что F2(x) = F1(x) + c
Доказательство.
Так как (F2(x)
- F1(x))’
= F2’(x)
- F1’(x)
= f(x)
- f(x)
= 0, то
F2(x)
- F1(x)
= с
= const.
F2(x)
= F1(x)
+ c
Из данной теоремы следует, что если F(x) первообразная для f(x), то выражение
F(x) + c, где с - произвольное число, задает все первообразные для f(x).
Определение
2.
Совокупность
всех первообразных для функции f(x)
на
промежутке [a,b]
называется
неопределенным интегралом от функции
f(x)
и
обозначается
,
где
-
знак
интеграла, f(x)
- подынтегральная
функция,
f(x)dx
- подынтегральное
выражение.
Таким образом
=
F(x)
+ c,
где
F(x)
- некоторая
первообразная для f(x),
с
- произвольная постоянная
Таблица интегралов.
,
n
-1
,
x
0
