Лекции по алгебре и математическому анализу для студентов заочного (ускоренного) обучения и вечернего (ускоренного) обучения.

(краткий конспект)

Ι. Матрицы.

Определение1. Матрицей назовем прямоугольную таблицу вида

= A = (a_ij)

размером kn, где k - число строк, n - число столбцов данной таблицы.

Элементами матрицы являются числа.

Элемент a_ij матрицы А стоит в i-той строке и j-том столбце.

Элементы а₁₁, а₂₂, …, a_ii… образуют главную диагональ.

Если k = n, то матрица называется квадратной.

E_n=E=

единичная матрица бывает только квадратной.

0=

нулевая матрица, бывает любого размера.

**Умножение матрицы на число

Любую матрицу можно умножить на любое число. Для этого каждый элемент матрицы надо умножить на это число.

Пример1.

5=

** Сложение матриц.

Можно сложить две матрицы одного размера. Для этого надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.

Пример 2.

Определение 2. Две матрицы называются равными, если у них равные размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

1 ()A=A+A

2 ()A=(A)

3 A + В = В + А

4 (A + B) +C = A + (В + С)

5 ,

где - числа, А, В, С - матрицы.

Докажем некоторые из них.

1^˚ Пусть ()A=T, A=U, A=V, U+V=D тогда

t_ij=()a_ij, d_ij=u_ij+v_ij, v=a_ij, u=a_ij, значит, d_ij =a_ij+a_ij=()a_ij,

т.к. , a_ij - числа, то

3^˚ Пусть

a_{ij +} b_ij, d_ij= b_ij + a_ij

Очевидно, что d_ij. Значит T = D, т.е. A + B = B + A.

** Умножение матриц. Если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы, то такие матрицы можно перемножить.

Пусть C_kn=A_klB_ln, где ,,

или

Пример 3.

=.

Пример 4.

Свойства умножения.

1^˚ Неверно, что АВ = ВА, т. е. существуют такие матрицы А и В, что АВ ≠ ВА

Доказательство заключается в том, что мы приведем пример.

Пусть A=B=

AB=

BA=

2^˚ A(BC) = (AB)C

3^˚ (A + B)С = AC + BC

4^˚ C(A + B) = CA + CB

(свойства 2-4 без доказательства)

5^˚ Существуют такие матрицы А и В, обе не нулевые, но их произведение равно нулевой матрице.

Такие матрицы называются делителями нуля.

6^˚ EA = A, AE = A, где А - производная матрица, такая, что EA и AE существуют.

Ιι. Определители.

Определители существуют только для квадратных матриц.

Определение1. Определителем порядка 1, определителем матрицы первого порядка А = (a₁₁), называется число а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! = 123…(n-1)n членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак члена определяется как (-1)^r, где r - число инверсий в перестановке из номеров столбцов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания.

Обозначения:

detA =

Поясним на примерах, что такое инверсия. Рассмотрим перестановку (134265).

Впереди 5 стоит 6>5, впереди 6 нет чисел, больших ее; впереди 2 стоят 4 и 3, большие ее; впереди 3 и 4 нет элементов, больших их. Число 5 образует инверсию с 6, 2 образует инверсию с 4 и 3.

Рассмотрим член (слагаемое) определителя пятого порядка а₁₃ а₂₄ а₃₁ а₄₂ а₅₅

Выполним перестановку из номеров столбцов (34125). Здесь 3, 5, 4 не имеют инверсий, у 2 - две инверсии с 3 и 4, у 1 - две инверсии с 3 и 4. Значит всего инверсий 4, т. e. r = 4, и это слагаемое имеет знак “+”.

Разберем еще один пример. а₁₃ а₂₁ а₃₄ а₄₂ а₅₅ , соответствующая перестановка (31425), число инверсий у 2 - две, у 5, 4, 3 - нет, у 1 - одна, r = 3, значит у слагаемого знак “-”.

Суммирование распространяется в формуле на все перестановки из n чисел.