УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Упругие деформации
u r r ; |
u |
x x0 |
0 |
i |
i i |
Тензор деформаций
|
|
1 |
|
ui |
. . |
ik |
|
|
|
|
0 |
|||
|
2 |
|
||
|
|
|
xk |
|
uk |
|
ul |
|
ul |
|
|
|
|
|
|
||||
x0 |
x0 |
x0 |
|||||
|
|
||||||
|
i |
|
i |
|
k |
|
Расширение
V V |
|
||
|
0 |
11 22 33 div u |
|
V0 |
|||
|
|
||
УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Тензор напряжений
( ik ) |
|
11 |
12 |
13 |
|
||||
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
31 |
32 |
33 |
Компоненты
напряжений
УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Уравнения движения упругой среды
|
|
|
|
|
d 2r |
||
|
dt2 |
q |
f ; |
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i q f |
i |
|
|
|||
. |
|
|
|
|
dt |
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Гука |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
, |
где С |
|
|
ik |
||
|
ik |
iklm |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||
|
|
lm |
|
iklm |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lm lm 0 |
|
УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Плотность упругой энергии
Ф 12 ik ik
Плотность упругой энергии в кубических кристаллах
Ф12 C11 ( 112 222 332 )
12 C44 ( 232 312 122 )
C12 ( 22 33 33 11 11 22 )
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
Законы распространения упругих волн
|
|
|
|
|
|
2um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ui |
Ciklm x |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
k |
l |
|
|
Вектор смещения плоской монохроматической волны |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i( kr t ) |
, где |
u0- векторная амплитуда, |
|||||
. |
u |
u0e |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei( kr t ) - фазовый множитель
Форма волны определяется поверхностью равных фаз
kr t c const
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
Упругие волны в кубических кристаллах
1. Уравнение движения для смещения u1 в направлении оси x
|
|
|
2 |
u1 |
|
|
2 |
u1 |
|
2 |
u1 |
|
2 |
u1 |
|
|
|
2 |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
x x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 |
|
С11 x2 |
С44 |
x2 |
x2 |
|
C44 ) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2. Уравнение движения для смещения u2в направлении оси y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
u2 |
|
|
2 |
u2 |
|
|
2 |
u2 |
|
|
2 |
u2 |
|
|
|
2 |
u1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
u3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
t2 |
С11 x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
С44 |
x2 |
|
C44 ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3. Уравнение движения для смещения u3 в направлении оси z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
u3 |
|
|
|
2 |
u3 |
|
|
|
2 |
u3 |
|
|
2 |
u3 |
|
|
|
|
2 |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
t2 |
С11 x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
С44 |
x2 |
|
C44 ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|||||||||||||||
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
1. Волны в направлении [100]: u1 u01ei( kx1 t )
u2 u02ei( kx1 t ) u3 u03ei ( kx1 t )
2. Волны в направлении [110]: u3 u03ei( kx x k y y t ) u1 u01ei( kx x k y y t )
u2 u02ei(kx x k y y t )
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
Волны в направлении [110]
Из уравнений движений для смещений u1 и u2, получим
2 u1 (C11kx2 C44ky2 )u1 (C12 C44 )kx kyu2 ,
2 u2 (C11ky2 C44kx2 )u2 (C12 C44 )kx kyu1.
Условие существования нетривиального решения
2 1 (C C |
44 |
)k 2 |
1 (C C |
44 |
)k |
||||
|
2 |
|
11 |
|
2 |
12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 (C C |
44 |
)k 2 |
|
2 |
1 (C C |
44 |
)k |
||
2 |
12 |
|
|
|
2 |
11 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2
0
2
2 1 (C С 2C |
44 |
)k 2 |
, |
2 1 (C С )k 2 . |
||||
2 |
11 |
12 |
|
|
2 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый корень соответствует продольной волне, второй – поперечной.