ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
.docxII. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
-
Сложение векторов
-
Умножение вектора на число
-
Базис и размерность
______________________________________________________________________________
II.0 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА
Вектор на прямой ℓ – любой направленный отрезок ∈ ℓ
Вектор на прямой/плоскости/в R3 – любой направленный отрезок,
лежащий на прямой/плоскости/в R3
Векторы, растущие из точки и действия над ними
-вектор – вектор, начало которого спвпадает с концом.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, принадлежащие одной прямой
либо 2м || прямым.-вектор коллинеарен любому вектору. Каждый вектор коллинеарен сам себе. Обозначение: ||
Компланарные векторы – векторы, принадлежащие одной плоскости, либо лежащие в параллельных плоскостях.
Равные векторы – а.) Коллинеарны, сонаправлены; б.) Имеют равные длины
Направленность векторов – ↑↑ – сонаправлены; ↑↓ – разнонаправлены
______________________________________________________________________________
II.1 СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
-
Правило параллелограмма
-
Правило треугольника
-
Правило ломаной
При сложении векторов и получаем:
СВОЙСТВА:
-
Коммутативность
-
-
Ассоциативность
-
-
-
Существование нулевого вектора
-
;
-
Существование обратного вектора
-
______________________________________________________________________________
-
II.2 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
-
При умножении вектора на число получается вектор , длина которого в раз отличается от длины .
-
|| ; ↑↑ при ; ↑↓ при
-
=
-
Направление: при вектор меняет направление на противоположное
-
Длина: Если или , то длина вектора уменьшается.
-
Если , то длина вектора увеличивается в раз.
-
Все векторы коллинеарны.
-
-
-
-
______________________________________________________________________________
-
II.3 БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО (ВЕКТОРНОГО) ПРОСТРАНСТВА
-
-
-
-
Размерность векторного пространства – число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
-
Базис векторного пространства – упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.
-
-
1. Линейная комбинация векторов – выражение
-
-
2. Линейная зависимость
-
называются линейнозависимыми, если линейная комбинация этих векторов = 0, при этом хотя бы 1 из коэфф. комбинации .
-
3. Линейная НЕзависимость
-
называются линейнозависимыми, если линейной комбинация этих
-
векторов = 0, при этом хотя бы 1 из коэфф. комбинации .
-
-
Случай №1
-
ДАНО: n=1
-
-
;
-
-
-
-
-
Случай №2
-
ДАНО: n=2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
– линейно зависимы; ||
-
-
Случай №3
-
ДАНО: n=3
-
-
-
;
-
-
-
-
– линейно зависимы
-
Хотя бы 1 из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации векторов хотя бы одна линейная комбинация векторов может быть представлена в виде вектора .
-