ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

II. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. Сложение векторов

2. Умножение вектора на число

3. Базис и размерность

______________________________________________________________________________

II.0 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Вектор на прямой ℓ – любой направленный отрезок ∈ ℓ

Вектор на прямой/плоскости/в R³ – любой направленный отрезок,

лежащий на прямой/плоскости/в R³

Векторы, растущие из точки и действия над ними

-вектор – вектор, начало которого спвпадает с концом.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, принадлежащие одной прямой

либо 2м || прямым.-вектор коллинеарен любому вектору. Каждый вектор коллинеарен сам себе. Обозначение: ||

Компланарные векторы – векторы, принадлежащие одной плоскости, либо лежащие в параллельных плоскостях.

Равные векторы – а.) Коллинеарны, сонаправлены; б.) Имеют равные длины

Направленность векторов – ↑↑ – сонаправлены; ↑↓ – разнонаправлены

______________________________________________________________________________

II.1 СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1. Правило параллелограмма

2. Правило треугольника

3. Правило ломаной

При сложении векторов  и  получаем:

СВОЙСТВА:

1. Коммутативность

2.  

3. Ассоциативность

4. 

5.  

7. Существование нулевого вектора

8. ;

9. 

10. Существование обратного вектора

11. 

12. 

13. 

15. ______________________________________________________________________________

16. II.2 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1. При умножении вектора на число  получается вектор , длина которого в  раз отличается от длины .

2. || ; ↑↑ при ; ↑↓ при

3. =

17. Направление: при вектор меняет направление на противоположное

18. Длина: Если или , то длина вектора уменьшается.

19. Если , то длина вектора увеличивается в  раз.

20. Все векторы коллинеарны.

24. ______________________________________________________________________________

25. II.3 БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО (ВЕКТОРНОГО) ПРОСТРАНСТВА

26. 

27. 

29. Размерность векторного пространства – число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

30. Базис векторного пространства – упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

32. 1. Линейная комбинация векторов – выражение

33. 

34. 2. Линейная зависимость

35. называются линейнозависимыми, если линейная комбинация этих векторов = 0, при этом хотя бы 1 из коэфф. комбинации .

36. 3. Линейная НЕзависимость

37. называются линейнозависимыми, если линейной комбинация этих

38. векторов = 0, при этом хотя бы 1 из коэфф. комбинации .

40. Случай №1

41. ДАНО: n=1

42. 

43. ;

44. 

45. 

46. 

47. 

49. Случай №2

50. ДАНО: n=2

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

58. 

60. 

61. 

63. 

65. – линейно зависимы; ||

67. Случай №3

68. ДАНО: n=3

69. 

70. 

71. ;

72. 

73. 

75. – линейно зависимы

76. Хотя бы 1 из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации векторов хотя бы одна линейная комбинация векторов может быть представлена в виде вектора .

77.