Семинар3

Семинар3.

Распределение Больцмана. Распределение Максвелла

Часть1. Распределение Максвелла

а) Классные:

1. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости v_в.

2. Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейди от переменной v к переменной , где v_в – наиболее вероятная скорость молекул.

3. Определить температуру газа, для которой: а) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на ∆=400 м/с; б) функция распределения молекул кислорода по скоростям F(v) будет иметь максимум при v=420 м/с.

4. При какой температуре T средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?

5. Зная функцию f(p) распределения молекул по импульсам, определить среднее значение квадрата импульса <p²>.

6. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает скоростями, лежащими в интервале от v₁ = 100 м/с до v₂ = 110 м/c? Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул?

7. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энергия <E> поступательного движения молекул идеального газа отличается от наиболее вероятного значения E_в кинетической энергии поступательного движения при той же температуре.

8. Во сколько раз число молекул ∆N₁, скорости которых лежат в интервале от v_в до v_в + ∆v, больше числа молекул ∆N₂, скорости которых лежат в интервале от <v_кв> до <v_кв> + ∆v?

9. Какая часть молекул азота рпи температуре Т имеет скорости, лежащие в интервале от v_в до v_в + ∆v, где ∆v=20м/с, если: а) Т=400 К; б) Т=900 К?

б) Домашние:

1. Какая часть молекул кислорода при t=0°С обладает скоростями v от 100 до 110 м/с?

2. Найти относительное число молекул ΔN/N гелия, скорости которых отличаются от наиболее вероятной - не более чем на 10 м/с, при температуре газа T=300 К.

3. Вычислить среднюю скорость < v_кв > молекул кислорода при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул, скорости которых отличаются от средней квадратичной скорости не более чем на 1%.

4. Найти выражение средней кинетической энергии <E> поступательного движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

5. По функции распределения молекул по скоростям определить среднюю квадратичную скорость < v_кв >.

6. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить наиболее вероятное значение энергии Е_в.

7. Вывести формулу наиболее вероятного импульса p_в молекул идеального газа.

8. Вывести формулу, определяющую среднее значение компонента импульса <p_x> молекул идеального газа.

9. Преобразовать функцию f(E)dE распределения молекул по кинетическим энергиям в функцию f(Θ)dΘ распределения молекул по относительным кинетическим энергиям (где ; E_в - наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул).

Часть2. Распределение Больцмана.

а) Классные:

1. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми h=40 мкм, отличается друг от друга в ρ=2,0 раза. Температура среды T=290 К. Диаметр частиц d=0,40 мкм и их плотность на ∆ρ=0,20 г/см³ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро.

2. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m₁ и m₂, причем m₂ > m₁. Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно n₁ и n₂, причем n₂ > n₁. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура T и ускорение свободного падения равно g, найти высоту h, на которой концентрации будут одинаковы.

3. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление p=90кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление p₀=100 кПа? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

4. Найти плотность ρ азота на высоте h=100 м. Температуру газа считать постоянной и равной t=0°С. Давление азота у поверхности Земли p₀=100 кПа.

5. Пылинки массой m=10^-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.

6. Самолет совершает полеты на высоте h₁=8300 м. При помощи компрессора в кабине поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте h₂=2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Температуру наружного воздуха считать равной t₁=0°С.

7. Найти плотность ρ воздуха у поверхности Земли и на высоте h=4 км. Температуру воздуха считать постоянной и равной t=0°С. Давление воздуха у поверхности Земли p₀=100 кПа.

8. Найти высоту h, на которой плотность кислорода в три раза меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t=0°С.

9. На какой высоте h давление воздуха равно третьей части от давления на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t=0°С.

б) Домашние:

1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10^-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на ∆h=10 м? Температура воздуха T=300К.

2. На сколько уменьшится атмосферное давление p=100кПа при подъеме наблюдателя над Землей на высоту h=100 м? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не меняется с высотой.

3. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

4. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1 аг. Отношение концентрации n₁ пылинок на высоте h₁=1 м к концентрации n₀ их на высоте h₀=0 равно 0,787. Температура воздуха T=300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро N_A.

5. На какой высоте h давление воздуха составляет 75% от давления на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t=0°С.

6. На какой высоте h плотность водорода вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t=0°С.

7. Определить во сколько раз плотность ρ₂ воздуха в кабине самолета больше плотности ρ₁ воздуха вне ее, если температура наружного воздуха t₁=-20°С, а температура воздуха в кабине t₂=20°С. Считать также, что давление в салоне самолета p₂=78 кПа, а снаружи p₁=30 кПа.

8. Найти давление воздуха в горах на высоте h=3380м. Температуру газа считать постоянной и равной t=5°С.

9. Частный самолет президента летает на высоте h=8500 м. Давление в салоне соответствует давлению на высоте h=2600 м. Определить разность давлений в салоне и снаружи самолета. Температуру наружного воздуха считать равной t₁=0°С.

4