1 курс 2 семестр / Mathematic

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

271 - 280. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

271. 3x + xy+ y= 0, y(1) = 1.

272. xyy+ xe- y = 0, y(1) = 1.

273. xdx + ydy = 5xydy - 10 xydx , y(1) = 1.

274. xy = y - y ln ( y/x ), y(1) = 1.

275. (xy + x) dx + dy = 0, y(0) = 0.

276. y + 2xy = x e, y(0) = 1.

277. xy + y = y, y(1) = 2.

278. xy = y - x tg , y(1) = .

279. (1 + x)y - 2xy = (1 + x), y(0) = 1.

280. xy + y = e , y(0) = 1.

281 - 290. Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

281. а) xy+ y = x.

б) y - 3y = e, y( 0 ) = -2, y( 0 ) = 1 .

281. а) 2y y - (y)= 0.

б) y - 3y + 2y = x – 1 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

281. а) y - yctg x = sin x.

б) y - 6y + 9y = 5sin 3x , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = -1.

281. а) yctg y - 2(y)= 0.

б) y + 2y + 10y = x , y( 0 ) = -1, y( 0 ) = 0.

281. а) yctg x - y+ 2 = 0.

б) y + 4y = 2e , y( 0 ) = 3, y( 0 ) = 0.

281. а) 2yyy = 1 +( y).

б) y - 9y = -2cos x , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = -1.

281. а) x y - y= yln.

б) y - 4y + 5y = 2x – 3 , y( 0 ) = 2, y( 0 ) = 0.

281. а) (1 – y)y + 3(y)= 0.

б) y - 4y + 3y = e , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 2.

281. а) xy - (y)= 0.

б) y - 2y = x + 3 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

281. а) (y + 1)y - 3(y)= 0.

б) y - 2y + 2y = cos x , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 0.

301-310. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

301. 302. 303.

304. 305. 306.

307. 308. 309.

310.

Ряды

311 – 320. Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.

311. 312. 313. 314.

315. 316. 317. 318.

319. 320.

321 – 330. Определить область сходимости данных рядов.

321. 322. 323.

324. 325. 326.

327. 328. 329.

330.

331 - 340. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.

331. f(x) = x +1 в интервале .

332. f(x) = x +1 в интервале .

333. f(x) = в интервале .

334. f(x) =+1 в интервале .

335. f(x) = в интервале .

336. f(x) = в интервале .

337. f(x) = в интервале .

338. f(x) = x -2 в интервале .

339. f(x) = x +1 в интервале .

340. f(x) = в интервале .

Операционное исчисление

341 - 350. Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения.

341. 341. y - 3y =t +1, y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 1 .

342. y - 4y + 3y = e, y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

343. y - 6y + 9y = 5e , y( 0 ) = -2, y( 0 ) =0.

344. y + 2y + 10y = t- 1 , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 0.

345. y + 4y + 3y = 2sin 3t , y( 0 ) = -3, y( 0 ) = 0.

346. y - 4y + 5y = -2t +1 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = -1.

347. y + 9y = -3sin t , y( 0 ) = 2, y( 0 ) = 0.

348. y - 4y = e , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = -2.

349. y - 2y + 2 = t + 3 , y( 0 ) = -1, y( 0 ) = 0.

350. y - 2y + y = cos 2t , y( 0 ) = 0, y( 0 ) =3.

Двойные и тройные интегралы

 151 – 160. Вычислить двойной интеграл по области D . Область интегрирования D изобразить на чертеже.

151. D : y = x² , y = 2 – x² .

152. D : x = 1 , y = x² , y = 0 .

153. D : y = x , y = x³ , x  0 .

154. D : y = x² , y = .

155. D : x = 1 , y = , y = -x² .

156. D : x = 1 , y = x² , y = 0 .

157. D : y = x² , y = .

158. D : x = 1 , y = y = -x³ .

159. D : y = x , y = .

160. D : x = 1 , y = x² , y = -.

161 – 170. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .

161. z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 ,

162. z = 0 , z - 4= 0 , x = 0 , x + y = 4 .

163. z = 0 , z – 9 + y² = 0 , x² + y² = 9 .

164. z = 0 , z – 1 + x² = 0 , y = 0 , y = 3 – x .

165. z = 0 , y + z – 2 = 0 , x² + y² = 4 .

166. z = 0 , z – 1 + y² = 0 , x = y² , x = 2y² + 1 .

167. z = 0 , 4z – y² = 0 , 2x – y = 0 , x + y = 9 .

168. z = 0 , x² + y² – z = 0 , x² + y² = 4 .

169. z = 0 , z – y² = 0 , x² + y² = 9 .

170. z = 0 , z – 4 + x + y = 0 , x² + y² = 4 .

351 – 360. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги кривой L.

351. , где L - отрезок прямой от точки (1; 0) до точки (2;1).

352 . , где L - отрезок прямой от точки (1;1) до точки (2;2).

353. , где L - дуга кривой y = ln (x + 1)от точки (0; 0) до точки (e - 1;1).

354. , где L - дуга кривой y = x от точки (1;1) до точки (2;4).

355. , где L - верхняя половина окружности x = sin 2t,

y = cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.

355. , где L - дуга кривой y = x от точки (-1;1) до точки

(-2;4).

355. , где L - верхняя четверть окружности x = 2sin t,

y = 2cos t. Интегрировать против часовой стрелки.

358. , где L - отрезок прямой от точки (1; 0) до точки (2;1).

359. , где L - дуга кривой y = x от точки (1;1) до точки (2;4).

360. , где L - верхняя половина эллипса x = 3sin 2t, y = 4cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.