12 13 Функциональные ряды

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

y(3) 2x 2yy ,

y(4) 2 2( y )2 2yy ,

y(5) 4y y 2y y 2yy(3) 6y y 2yy(3) ,…

При x 1 имеем:

y(3) ( 1) 2 2 2 12 0 ,

y(4) ( 1) 2 2 14 2 2 5 22,5 ,

y(5) ( 1) 6 12 5 2 2 0 15 ,…

Подставляя найденные значения производных в ряд (39), получаем y(x) 2 12 (x 1) 52 (x 1)2 1615 (x 1)4 18 (x 1)5 ▲

б) Метод неопределенных коэффициентов. Пусть требуется решить задачу Ко-

ряды по степеням (x x0 ) , сходящиеся в некотором интервале (x0 R, x0 R) , искомое решение y(x) будем искать в виде степенного ряда

ние (40). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , и учитывая начальные условия (41), определяют коэффициенты cn ряда (42).

21

Пример 27. Найти решение задачи Коши:

Используя метод неопределенных коэффициентов.

∆ Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

Ищем решение уравнения в виде степенного ряда

y c0 c1x c2 x2 c3 x3

Тогда

y c1 2c2 x 3c3 x2 4c4 x3 ,

y 2c2 2 3 c3 x 3 4 c4 x2 4 5 c5 x3

Из начальных условий находим c0 0 , c1 1. Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение

(2c2 2 3 c3 x 3 4 c4 x2 4 5 c5 x3 ) x(c1 2c2 x 3c3 x2 4c4 x3 )

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x0 : 2c2 0 ,

x1 : 2 3 c3 2 1,

x2 : 3 4 c4 2c2 c2 0 ,

x3 : 4 5 c5 3c3 c3 1 2 ,

x4 : 5 6 c6 4c4 c4 0 ,

………….

Отсюда находим, что c2 c4 c6 c2n 0 , n N , а также

22

то есть

y sin x . ▲

23