Теорема о приведении квадратной матрицы к жордановой форме
Матрица А с элементами из поля Р приводится в поле Р к жордановой нормальной форме тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А лежат в самом поле Р.
Доказательство
Если матрица А подобна жордановой матрице J, то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицы J: так как определитель матрицы J-λE равен произведению её элементов, стоящих на главной диагонали, то многочлен |J-λE| разлагается над полем Р на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на главной диагонали матрицы J, и только они.
Обратно, пусть все характеристические корни матрицы А лежат в самом поле Р. Если отличные от 1 инвариантные множители матрицы A-λE будут
(28)
то
Действительно,
определители матрицы
и её канонической матрицы могут отличаться
друг от друга лишь постоянным множителем,
который на самом деле равен
,
так как именно таков старший коэффициент
характеристического многочлена
.
Таким образом, среди многочленов (28) нет
равных нулю, сумма степеней этих
многочленов равнаn
и все они разлагаются над полем Р
на линейные множители – последнее в
виду того, что, по условию, многочлен
обладают таким разложением.
Возьмём
теперь жорданову матрицу J
порядка
n,
составленную из жордановых клеток,
определяемых следующим образом: каждому
элементарному делителю
матрицыА
ставим в соответствие жорданову клетку
порядка
,
относящуюся к числу
.
Очевидно, что отличными от 1 инвариантными
множителями матрицыJ-λE
будут
многочлены (28) и только они. Поэтому
матрицы
и
J-λE
эквивалентны и, следовательно, матрица
подобна жордановой матрицеJ.
Пример
Пусть дана матрица
.
Приводя обычным способом матрицу А-λЕ к каноническому виду, получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут многочлены
Мы
видим, что матрица А
приводится к жордановой нормальной
форме даже в поле рациональных чисел.
Её элементарными делителями являются
многочлены
,
и
,
а поэтому жордановой нормальной формой
матрицыА
служит матрица
.