Унимодулярные λ-матрицы. Критерии унимодулярности

Определение

Две λ-матрицы эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводятся к одному и тому же каноническому виду.

Определение

Две λ-матрицы эквивалентны тогда и только тогда, когда они обладают одинаковыми инвариантными множителями.

Определение

λ-матрица U(λ) называется унимодулярной, если все её инвариантные множители равны единице.

Критерий унимодулярности

λ-матрица U(λ) унимодулярна тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля, но не зависит от λ, то есть является отличным от нуля числом из основного поля Р.

Действительно, если U(λ)~Е, то этим двум матрицам соответствует один и тот же многочлен Однако для единичной матрицы . Отсюда следует, что определитель матрицыU(λ), будет отличным от нуля числом из поля Р. Обратно, если определитель матрицы U(λ)отличен от нуля и не зависит от λ, то для этой матрицы многочлен , а поэтому все инвариантные множителиматрицыU(λ), i=1, 2, …, n, равны единицы.

Определение

Всякая невырожденная числовая матрица является унимодулярной λ-матрицей.

λ-матрица

(12)

унимодулярна, так как её определитель равен 20, то есть отличен от нуля и не зависит от .

Второй критерий эквивалентности λ-матриц

Две -матрицы А()и В()порядка n эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют такие унимодулярные -матрицыU(λ) и V(λ) того же порядка n, что

. (13)

Введём сначала следующие понятия.

Определение 1

Назовём элементарной матрицей λ-матрицу

, (14)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на некотором i-м месте главной диагонали, , стоит произвольное числоиз поляР, отличное от нуля. С другой стороны, назовём также назовём элементарной матрицей λ-матрицу

(15)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на пересеченииi-й строки и j-го столбца, причём, стоит произвольный многочлениз кольцаP[λ].

Определение 2

Всякая элементарная матрица унимодулярна.

Определение 3

Выполнение в λ-матрице любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справа на некоторую элементарную матрицу.

Определение 4

-матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство

Если А()~В(),то от А()можно перейти к В()при помощи конечного числа элементарных преобразований. Заменяя каждое из этих преобразований умножением слева или справа на элементарную матрицу, мы придём к равенству

(16)

где все матрицы элементарны и унимодулярны. Если, например,k=0, то есть элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, то полагаем, что .

Если дана произвольная унимодулярная матрица W(λ), то она эквивалентна единичной матрице Е. Применяя проведённое выше доказательство вместо матриц А()и В() к матрицам Е и W(λ), мы из (16) получим равенство

, (17)

то есть матрица оказалась представленной в виде произведения элементарных матриц.

Приведём доказательство обратного утверждения. Пусть для матриц А()и В() существуют такие унимодулярные матрицы иV(λ), что имеет место равенство (13). Матрицы иV(λ) можно представить в виде произведений элементарных матриц. Равенство (13) перепишется в виде (16) и, заменяя каждое умножение на элементарную матрицу соответствующим элементарным преобразованием, мы получим, что А()~В().