ГЛАВА1

Часть 2. СТАТИКА

Введение в статику

Статику можно разделить на элементарную (или геометрическую) и аналитическую. Аналитическая статика рассматривается в Ч. 4 Элементы аналитической механики.

Все материальные тела в той или иной степени деформируемы, т.е. расстояние между точками этих материальных тел изменяется. В тех случаях, когда этими деформациями можно пренебречь, т. е. они достаточно малы, то материальное тело рассматривается как НМС, расстояние между точками которой не изменяется.

Элементарная статика представляет собой в основном статику НМС, а так же статику МС, состоящей из нескольких НМС. Как было сказано во введении в теоретическую механику, мерой механического взаимодействия является сила.

В статике изучаются: операции над силами, позволяющие приводить системы сил к простейшим системам, и условия равновесия этих систем.

Система сил находится в равновесии, если под ее действием тело остается в покое или двигается по инерции, т. е. совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение.

Так как сила, действующая на НМС, как будет показано далее, есть вектор скользящий, то к изложению элементарной статики может быть применен богатый материал геометрии скользящих векторов.

В основе элементарной статики лежат шесть аксиом, которые будут изложены в главе 1. Аксиомы – это истины, принимаемые без математического доказательства и подтверждаемые повседневным опытом. Все же остальные положения статики выводятся и доказываются исходя из этих аксиом.

Глава 1. Основные определения, аксиомы

1.1. Силы, связи

Определение: Силой называется мера механического взаимодействия, характеризующая интенсивность и направление этого взаимодействия.

Из определения следует, что сила есть вектор (рис.1).

Рис.1

Определения:

Точкой приложения силы называется точка, в которой приложена сила.

Линией действия силы называется прямая, по которой направлена сила.

Свободным называется материальное тело (МТ, СМТ, МС, НМС, АТТ), на перемещения которого не наложено никаких ограничений.

Несвободным называется материальное тело (МТ, СМТ, МС, НМС, АТТ), на перемещения которого наложены ограничения.

Связями называются тела, ограничивающие перемещения рассматриваемого материального тела.

Активными или заданными силами называются силы, изменяющие или стремящиеся изменить характер механического движения материального тела.

Пассивными силами или силами реакции связи называются силы, являющиеся мерой механического взаимодействия между несвободным материальным телом и связью.

Силы реакции связи не могут вызвать механическое движение и возникнуть при отсутствии активных сил.

Системой сил называется совокупность сил, рассматриваемых вместе.

Произвольной или пространственной системой сил называется система, линия действия всех сил которой как угодно расположены в пространстве.

Плоской системой сил называется система, линии действия всех сил которой расположены в одной плоскости.

Системой сходящихся сил называется система, линии действия всех сил которой пересекаются в одной точке.

Системой параллельных сил называется система, линии действия всех сил которой параллельны.

Эквивалентными системами сил называются такие системы сил, при замене одной из которых на другую состояние свободного телa не изменится.

'

Равнодействующей силой, рассматриваемой системы сил, называется сила, эквивалентная этой системе сил.

'.

Уравновешенной системой сил (эквивалентной нулю) называется система сил, которая, будучи приложенной к свободному телу, не изменяет его состояния.

' 0.

1.2. Аксиомы статики

Аксиома двух уравновешенных сил

Аксиома 1: Система двух сил, действующих на свободную НМС (МТ), будет уравновешенной , когда силы равны по модулю и противоположно направлены по одной прямой (рис. 2).

Рис. 2

Аксиома о добавлении (отбрасывании)

уравновешенной системы сил

Аксиома 2: Состояние свободной НМС (МТ) не изменится, если к действующей на НМС (МТ) системе сил добавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие: Состояние НМС не изменится, если силу, приложенную к какой-либо ее точке, перенести вдоль линии действия силы в любую другую точку НМС, лежащую на линии действия этой силы.

Доказательство: Пусть на НМС действует сила в точке O₁. Приложив на основании аксиомы 2 к НМС в точке O₂ уравновешенную систему двух сил, равных по модулю заданной силе и лежащих на линии ее действия (рис. 3), получим:

Рис. 3.

Таким образом, сила – вектор скользящий.

Аксиома (правило) параллелограмма сил

Аксиома 3: Система двух сил, приложенных к точке НМС или к МТ, всегда имеет равнодействующую, приложенную в этой же точке и совпадающую по величине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 4).

' или ,

Из правила параллелограмма следует правило треугольника сложения сил (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

.

Используя аксиому 3 – правило параллелограмма, можно решить и обратную задачу: разложение силы на две составляющие силы, которая в отличие от прямой задачи имеет бесконечное множество решений.

Аксиома действия и противодействия

Аксиома 4: Силы, с которыми действуют друг на друга две НМС (МТ), всегда равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома связей (принцип освобождаемости)

Аксиома 5: Всякую несвободную НМС (МТ) можно рассматривать как свободную, отбросив (условно) связи и заменив их действие реакциями связи (пассивными силами).

Аксиома затвердевания

Аксиома 6: Равновесие несвободной МС не нарушится, если на нее наложить дополнительные связи.

1.3. Моменты силы относительно точки и оси

Пусть имеются сила , приложенная в точке какой-либо НМС, точка О и ось . Тогда можно дать определения моментам силы относительно точки и оси и установить связь между ними.

1.3.1. Момент силы относительно точки

Определение: Моментом силы относительно точки называется вектор, приложенный в этой точке, равный по величине произведению величины силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (называемое плечом), направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и силу, по правилу правого винта, т. е. в ту сторону, откуда совершаемый силой поворот тела, относительно точки виден против хода часовой стрелки (рис. 6).

Рис. 6

. (1.1)

Введем в рассмотрение радиус-вектор , определяющий положение точки B – точки приложения силы (рис. 7).

Рис. 7

При рассмотрении векторного произведения векторов и , оказывается, что

а) ;

б) плоскости, в которой находятся ;

в) составляют правую тройку векторов, т. е. если смотреть с конца третьего вектора, поворот от первого ко второму вектору виден против хода часовой стрелки.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

. (1.2)

В случае плоской системы сил величину момента силы относительно точки, лежащей в плоскости действия сил, можно рассматривать как алгебраическую величину, равную взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на плечо:

.

При этом величина момента берется со знаком плюс, если сила стремится осуществить поворот тела относительно точки против хода часовой стрелки и со знаком минус в противоположном случае (рис. 8).

Рис. 8

1.3.2. Момент силы относительно оси

Определение: Моментом силы относительно оси называется взятая со знаком плюс или минус величина момента проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси и плоскости:

. (1.3)

Момент берется со знаком плюс, если, смотря с конца положительного направления оси, видно, что проекция силы стремится осуществить поворот тела относительно оси против хода часовой стрелки. В противном случае момент берется со знаком минус (рис. 9).

Рис. 9

Момент силы относительно оси не зависит от выбора плоскости, перпендикулярной оси.

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

• =0 , т.е. сила параллельна оси,

• h=0 , т.е. линия действия силы пересекает ось.

1.3.3. Связь между моментами силы

относительно точки и оси

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 10):

. (1.4)

Осталось доказать, что связь между моментами силы относительно точки и оси не зависит от выбора точки на оси.

Рис. 10

Возьмем вторую точку на оси О₁ (рис. 11) и единичный орт оси , тогда

Здесь .

Рис. 11

Зависимость между моментами силы относительно оси и точки иногда принимается в качестве определения момента силы относительно оси, которое эквивалентно определению, данному в пункте 1.3.2.

1.3.4. Моменты силы относительно начала координат

и координатных осей декартовой системы координат

Запишем выражение для момента силы относительно начала координат О в виде определителя (рис. 12):

Спроектировав выражение (1.5) на оси декартовой системы координат, с учетом связи между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(1.6)

Рис. 12

173