
Глава 5. Условия равновесия систем сил
Пространственная система сил
5.1.1. Геометрическая форма
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы сил при приведении к любому центру были равны нулю:
(5.1)
Доказательство необходимостиусловий (5.1):
Пусть произвольная
система сил находится в равновесии, т.
е. ()'0. Приведя эту систему сил к центру О,
получим:
.
Так как сила –
главный вектор
и пара сил, момент которой равен главному
моменту
друг друга уравновесить не могут, то
необходимо, чтобы
,
что и требовалось доказать.
Доказательство достаточностиусловий (5.1):
Пусть
.
Предположим (метод от противного), что
система сил (
),
не находится в равновесии, тогда, приведя
эту систему сил к любому другому центру
О1, получим:
,
т.
е. система сил приводится к паре с
моментом:
.
Таким образом, для
любого центра приведения главный вектор
и главный момент равны нулю, следовательно
()'0 и наше предположение было неверно, т.
е. система сил (
),
находится в равновесии.
5.1.2. Алгебраическая форма
Спроектировав соотношение (5.1) на оси декартовой системы координат с началом в центре приведения О и учтя связь моментов силы относительно точки и оси, получим следующие условия равновесия произвольной пространственной системы сил:
(5.2)
Для равновесияпроизвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси декартовой системы координат и суммы моментов всех сил относительно осей декартовой системы координат равнялись нулю.
Для равновесия пространственной системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма величин этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению линий действия сил, также были равны нулю:
(5.3)
5.2. Плоская система сил
5.2.1. Первая форма
В случае плоской системы сил, находящейся в плоскости хОу соотношения (5.2) и (5.3) примут вид:
(5.4)
Для равновесияплоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси x, y, лежащие в плоскости действия сил и алгебраическая сумма величин моментов всех сил относительно любой точки плоскости равнялись нулю.
Для равновесия плоской системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы величин этих сил и величин моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил равнялись нулю:
(5.5)
Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить еще в двух других формах.
5.2.2. Вторая форма
Для равновесия плоской системы сил, необходимо и достаточно чтобы алгебраические суммы величин моментов этих сил относительно трех точек, лежащих в плоскости действия сил и не расположенных на одной прямой, равнялись нулю:
(5.6)
Эта форма равновесия плоской системы сил также называется теоремой о трех моментах.
Доказательство необходимостиусловий (5.6):
Пусть плоская
система сил, находится в равновесии:
()'0.
Из необходимости третьего уравнения
(5.4) следует необходимость условий (5.6).
Доказательство достаточностиусловий (5.6):
Пусть выполняются
условия (5.6). Предположим (метод от
противного), что плоская система сил
(),
не находится в равновесии. Приведем эту
систему сил к центру В, тогда
.
Если
=
0, то система сил находится в равновесии.
Предположим, что
0,
т. е. что система сил не находится в
равновесии. Применив дважды теорему
Вариньона для точекDиE, получим:
Из этих соотношений
следует, что линия действия равнодействующей
,
приложенной в точкеBпроходит также через точкиDиE, чего быть не может,
так как точкиB,DиEне расположены на одной
прямой. Следовательно, наше предположение
неверно и плоская система сил (
)
находится в равновесии.