3.3. Определенный интеграл.

Основные определения и теоремы. Пусть на отрезке[a, b]задана непрерывная функцияy = f(x)(рис.6.1). Обозначим черезmиMее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок[a, b]наnпроизвольных частей точками

a = x₀ < x₁ < …< x_n–1 < x_n = b. Длина каждого из отрезков оставитx_i = x_i – x_i–1. Обозначив наименьшее и наибольшее значения функции на каждом из отрезковm_iиM_i, составим

Рис. 6.1

суммы (6.1) и (6.2), называемые нижней и верхнейинтегральнымисуммами.

S_n(приf (x)  0) численно равна площади вписанной ступенчатой фигурыАС₀N₁C₁N₂…C_n–1N_nBA,aS_n– площади описанной фигурыAK₀C₁K₁…K_n–1C_nBA. Так какm_i  M_iдля любогоi, тоS_n  S_n(знак равенства соответствует случаюf(x) = сonst). Так как m₁  m, m₂  m, …, m_n  m (m–наименьшее значениеf(x)на[a, b]), то, S_n  m(b–a). Так как M₁  M, M₂  M,…, М_n  M(М– наибольшее значениеf(x) на[a, b]), тоS_n  M (b – a), т.е. площадь криволинейной трапецииАС₀C_nВменьше площади описанного и больше площади вписанного прямоугольников.

Возьмем на каждом из отрезков х_iпроизвольную точку_i, найдем соответствующее значение функцииf(_i)и составим сумму, называемую интегральной суммой для функцииf(x)на отрезке[a, b]. Очевидно, чтоm_i  f(_i)  M_i, m_ix_i  f(_i)x_i < M_ix_iиS_n  S_n  S_n. (Фигура, площадь которой равнаS_n, ограничена ломаной, заключенной между вписанной и описанной ломаными).S_nзависит от способа разбиения отрезка[a, b]на отрезки x_iи от выбора точек_iвнутриx_i. Обозначим черезmaxx_iнаибольшую из длин этих отрезков и потребуем, чтобыmaxx_i  0. Число отрезков при этом стремится к бесконечности.Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxx_i  0 и при любом выборе точек _i суммы стремятся к одном у и тому же пределу, то говорят, что функцияf(x) интегрируема на отрезке [a, b].Предел этот называют определенным интегралом от функцииf(x) на отрезке[a, b]

(6.3).

Числа аиbназывают нижним, и верхнимпределамиинтеграла, отрезок[a, b]– отрезком интегрирования,х– переменной интегрирования.

Приведем теорему существования определенного интеграла: Еслифункцияf(x)непрерывна на[a, b],то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка[a, b]на элементарные отрезкиx_iи от выбора точек _i. Еслиf(x)  0на[a, b], то определенный интегралгеометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиямиy = f(x), х =а, х = b, у = 0.

Приведем основные свойства определенного интеграла:

, гдес=const.

6). Если m  f(x)  Mна[a, b], то

Непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями и требует громоздких вычислений. Рассмотрим метод, упрощающий решение проблемы и использующий связь между интегрированием и дифференцированием.

Формула Ньютона – Лейбница. Пусть в определенном интеграле нижний пределафиксирован, а верхнийbменяется. Вместе с ним меняется и значение функции, т.е.интеграл есть функция верхнего предела. Для работы в привычных обозначениях верхний предел обозначим черезх, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, обозначим ее черезtи получим Ф. Еслиf(t)– неотрицательная функция, то величинаФ(х)численно равна площади криволинейной трапецииаАХх(рис.6.2.), меняющейся при значениих. ПроизводнаяФ`(х)похопределится теоремой:еслиf(x)–непрерывная функция и Ф,то имеет место равенство Ф`(х) = f(x), т.е. производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подинтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Рис. 6.2

(Из этой теоремы следует, в частности, что всякая непрерывная функция имеет первообразную).

Возможности вычисления определенного интеграла открывает следующая теорема: ЕслиF(x)есть какая – либо первообразная непрерывной функции f(x), то справедлива формула

(6.4).

Это и есть «знаменитая» формула Ньютона – Лейбница, благодаря которой математика получила общий метод решения большого числа различных задач, связанных с необходимостью вычисления определенного интеграла. Пример:

При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона – Лейбница может применяться весь арсенал известных приемов нахождения первообразной, например:

1. Метод замены переменной:Если дан интеграл,где функцияf(x)непрерывна на[a, b]и вводится новая переменная по формулех = (t),причем () = а, () = b, (t)и`(t)непрерывны на[, ] иf[(t)]определена и непрерывна на[, ],то(6.5).

При вычислении определенного интеграла по формуле (6.5) мы не возвращаемся к старой переменной, а находим новые пределы интегрирования и. Пример:[примем х =rcost;dx= –rsintdt;

x= 0 приt=/2 и x =rприt= 0] =

(Геометрически это площадь ¼ круга радиуса r).

2. Интегрирование по частям.Пустьuиvдифференцируемые функции отх. Тогдаd(uv) = udv + vdu. Интегрируя обе части равенства в пределах отадоbполучим, откуда(6.6).

Пример:

Приведем еще два соотношения, упрощающие вычисления в ряде случаев. Если f(x)– нечетная функция, то(6.7).

и, если f(x)четная функция, то(6.7 ‘).

Приложения определенного интеграла к задачам практики.

1. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойy = f(x),прямымих = аих = bи отрезком[a, b], (рис.6.3) вычисляется по формуле (6.8).

Легко видеть, что площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁(x)иy = f₂(x);0  f ₂(х)  f₁(x)и прямымих = а их = b определится соотношением

(6.9).

Рис. 6.3

В полярных координатах площадь криволинейного сектора, ограниченная кривой  = ()и двумя полярными радиусами = и = ( < ) определится выражением(6.10),

а площадь фигуры, ограниченной кривыми ₁(), ₂(), ₂()  ₁()и радиусами =  и =  выражением(6.10`).

2. Длина дуги плоской кривой. Пусть на плоскости дана криваяy = f(x). Найдем длину дугиАВэтой кривой между прямымих = аи х = b(рис.6.4.). Возьмем на дуге точкиА, М₁, …, М_i, …, Вс абсциссамих₀ =а, х₁, …x_i, …,x_n= bи проведем хордыА М₁, М₁М₂, …, М_i–1M_i, …, M_n–1 B, длины которых обозначим черезS_i. Получим ломануюАМ₁М₂ …М_i …В, вписанную в дугуАВ.Длина ломаной равна. ДлинойSдугиАВназывается предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:.

Рис. 6.4

Если на отрезке [a, b]функцииf(x)иf `(x)непрерывны (кривая – гладкая), то этот предел существует и равен(6.11).

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением  = () (   ), длина дуги равна (6.12).

3. Вычисление объема тела по параллельным сечениям. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной осиОх, может быть выражена как функция отх, т.е. в видеS = S(x), то объем части тела, заключенной между плоскостямих = аиx = b, определится формулой(6.13)

4. Объем тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривойy = f(x) и прямымих = а их = b, вращается вокруг осиОх, то объем тела вращения определится соотношением(6.14).

Если вокруг оси Охвращается фигура, образованная кривымиy = f₁(x)иy = f₂(x)(0  f₁(x)  f₂(x)) и прямымих = а их = b, то объем тела вращения

(6.15).

5. Поверхность тела вращения. Если дуга гладкой кривойy = f(x) ( а  х  b)вращается вокруг осиОх, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле(6.16).

6. Работа и давление. Работа переменной силыF = f(x), действующей по осиОхна отрезке[a, b] вычисляется по формуле(6.17)

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади Sумноженной на глубину погруженияh, на плотностьи ускорение силы тяжестиgт.е.р = ghS.

Рис. 6.5

Пример: Какое давление испытывает прямоугольная пластина длиной аи ширинойb (a > b), если она наклонена к поверхности жидкости под угломи ее большая сторона находится на глубинеh(рис.6.5)?

Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна. Следовательно, (– плотность жидкости). Отсюда находим.

Несобственные интегралы.

Интеграл с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл. При переменномbон является непрерывной функциейb. Предел этой функции приb  обозначают (6.18)

и называют несобственным интеграломот функцииf(x)на интервале[a, ). Если этот предел существует и конечен- интеграл называютсходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности –расходящимся.Геометрический смысл в случаеf(x) 0– площадь неограниченной области, заключенной между линиямиy = f(x), х = аи у = 0(осьОх).

Пример: (рис.6.6) .

Аналогично определяются интегралы: (6.18`)

и (6.18``).

Бывает достаточно установить, сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Это позволяют сделать следующие теоремы:

1. Если для всех х  а выполняется неравенство о  f(x)  (х) и если сходится, то сходится и, причем  .

2. Если для всех х  а выполняется неравенство f(x)  (х)  0, причем расходится, то расходится и.

3. Если интеграл сходится, то сходится и. В последнем случае говорят, что интеграл абсолютно сходящийся.

Пример: исследовать сходимость . Подинтегральная функция знакопеременная. Рассмотрим. Очевидно, что;. Исходный интеграл сходится абсолютно.

Интеграл от неограниченной функции. Пусть функцияy = f(x)определена и непрерывна приа  х < с, а в точкесиспытывает бесконечный разрыв. Интеграл(6.19)

называют несобственным интегралом от неограниченной функции.

Если этот предел существует и конечен – интеграл сходящийся, если нет –расходящийся. Аналогично определяются интегралы

(6.19`)

(при а < x  cи), и, если функция имеет бесконечный разрыв в точкесвнутри отрезка[a, b],(6.19``).

Несобственный интеграл (6.19``) называют сходящимся, если существуютоба пределав правой части равенства, ирасходящимся, если не существует хотя бы один из них. Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений полезны следующие теоремы: 1.Если на отрезке [a, с] функции f(x) и (х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка (х)  f(x)  0 и сходится, тотакже сходится; 2. Если на отрезке[a, с] функции f(x) и (х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка f(x)  (х)  0 и расходится то ирасходится; 3. Если функцияf(x), знакопеременная на отрезке [a, с], разрывная только в точке с и интеграл сходится, то сходится (абсолютно) и.

Пример: Сходится ли ? Подинтегральная функция разрывна прих = 0. В указанном интервале. Несобственный интеграл

сходится, и, соответственно, сходится исходный интеграл.

Тесты

3.10. ;

1) 0; 2) ; 3).

3.11. ;

1) 0; 2) ; 3).

3.12.

1) ; 2); 3); 4).

3.13.

1) ; 2); 3); 4).

3.14.

1) ; 2); 3).

3.15. Сходится ли и, если да, то равен:

1) 0; 2) ; 3) 1.

3.16. Сходится ли и, если да, то равен:

1) 0; 2) –3; 3) 2.

3.17.

1) ; 2); 3); 4).

3.18.

1) Сходится; 2) Расходится.

3.19. Площадь фигуры, ограниченной линиями и, равна (кв.ед):

1) 7; 2) –3,5; 3) 4,5; 4) 6,2.

3.20. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями исоставляет (куб.ед.):

1) ; 3);

2) ;4).