ПРЕДЕЛЫ И ИХ СВОЙСТВА Составил:

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ

Число А наз. пределом X_n при n, где n если для >0 N() > 0, такой, что |X_n - A|< для n>N().

Число А наз. пределом f(x) в точке X₀, если для 0 ()>0, такое, что |f(x) - A|< для x: 0< |X- | <().

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

A=( x > x₀); B= (x< x₀).

== A

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ

если=A, =B, то

1) = A+B; 2) = _;

3) = (B0); 4) = ;

_{5) если f(x) непрерывная функция и a  Д(f), то}

= или = f(a).

6) если f(x)0 при xa, g(x) – ограничена в окрестности x = a, то =0.

замечание: в случаях -, 0, , , 1^, 0⁰, ⁰ (соответст­вующие свойства не верны).

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

1-й:==1 или=1.

следствия:

=1,=1,=1,=1.

2-й:=()=e, или=e, где e=2,718281222 .

следствия:=e,=log_ae,=ln(a)

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ПРЕДЕЛОВ

ПРЕДЕЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

если P_n(x)=a­_nx­­ⁿ+…+a₁x+a₀, Q_m(x)=bmx^m+…+b₁x+b₀, то

0, n<m – раздели P_n(x) и Q_m(x)

1)== , n>m на x^k, где k=max{n, m};

, n=m

2) = – сократи дробь на (x-a);

ПРЕДЕЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

= проведи тригонометриче­ские преобразования или выдели 1-й зам. предел и его следствия;

ПРЕДЕЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

пусть f(x) и g(x) иррациональные выражения

1) = вводится новая переменная, например: ==(x=12, y1)== = , либо переходят к сопряженным выражениям, например:

=== ==- ;

2) = – раздели f(x) и g(x) на «старшую» степень x с учетом показателей корней,

3) = перейди к сопряженному выражению.

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Если f(x) и g(x) существует при x: 0<|x-a|<ε и существует , то=( или )=

_{Замечание: 1) правило может быть применено многократно,}

2) случаи -, 0, преобразованием сводят к или ,

3) случаи 1^, 0⁰, ⁰ логарифмированием исходного выражения сводят к , , 0.

ЗАМЕНА ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Если f(x) ~ φ(x), a g(x) ~ ψ(x) при xa, то ,

=, например:

=== , т.к.

~ x, ln(1+2x) ~ 2x при x0.

_{Замечание:}

x ~ sin(x) ~ tg(x) ~ arcsin(x) ~ arctg(x) ~ e^x – 1;

~ при x0. n! ~ при n.

МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

f(x) и g(x) имеют одинаковые главные части при xa до порядка n, если f(x) – g(x)=0(|x–a|ⁿ). Если = , то разложи f и g по формуле Тейлора в окрестности a, выделив главную часть до одного и того же порядка.

Замечание: 1) другие неопределенности сводятся к случаю ; 2) случай x заменой x= сводятся к t0.

Основные разложения: e^x=1+ + +…+ +…

sin(x)= – + –…+ +…