Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

Grafiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

4. Груз весом G, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть

сдвинут приложенной к нему силой	F	G	, где	- коэффициент

		cos sin

трения. Под каким углом к горизонту надлежит приложить эту силу, чтобы ее величина F была наименьшей?

Решение: Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции

F ( )	G	на отрезке [0;		].
	cos sin		2

		F '( ) G( sin cos ) ;

(cos sin )2

F '( ) 0,

cos sin 0; tg ;

arctg .

F ''( ) G

( cos sin )(cos sin )2 ( sin cos ) 2(cos sin )( sin cos ) (cos sin )4

G (cos sin )(1 2 ) 0; (cos sin )4

значит, по второму достаточному условию экстремума, arctg - точка минимума. Значит, приложение силы под углом arctg наиболее выгодно.

Ответ: arctg .


5. Найти наименьшее значение функции	y	4x2		6x		на отрезке [-2;1].
		x2	4x		5

Решение: Функция определена и непрерывна на данном отрезке.. Найдем первую производную:

y '

( 8x 6)(x2 4x 5) (2x 4)( 4x

2 6x)

10x2 40x 30

(x2

4x 5)2

(x2 4x 5)2

Найдем критические точки:

y ' 0;

10x2 40x 30

0; 10x2

40x 30 0;

x 3;

(x2 4x 5)2

Заданному отрезку принадлежит x 1.

Вычислим значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

	y( 2) 4;	y( 1) 1; y(1)	5 .
Сравнивая	полученные значения, видим,		что наименьшее значение
yнаим. y(1) 5.
Ответ: yнаим.	y(1) 5
		20

62. Исследовать функцию y 3 27 x3 и построить ее график.

1.Область определения функции: x R .

2.Выясним, является ли функция четной или нечетной:

f ( x) 3 27 x3

f ( x) f (x); f ( x) f (x) ,

значит, функция общего вида. 3. Найдем нули функции:

3 27 x3 0; x 3.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

4.Вертикальных асимптот нет

5.Найдем наклонные асимптоты:

Общий вид уравнения асимптоты y kx b

Найдем k:

f (x)

3 27 x3

k lim

lim

найдем b:

b lim( f (x) kx) lim 3

x lim

27 x3

x)(3 (27 x3 )2 x3

27 x3

x 2 )

27 x3

(27 x3 )2 x3

27 x3

x 2 )

lim

27 x3

lim

x (3

(27 x3 )2 x3

27 x3 x2 )

x (3

(27 x3 )2

x3 27 x3

x 2 )

значит, y x

- наклонная асимптота.

6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

(27 x3 )

f '(x)

3 ( 3x2 )

0 ,

3 (27 x3 )2

значит, функция убывает на всей области определения. Экстремумов

нет.

7. Найдем интервалы выпуклости вниз и вверх графика функции:

2 Решение других задач типа 6 и 7 будет представлено в следующем разделе.

		2	2		5				2		5
f ''(x) 2x(27 x3 )				(27 x3 )			( 3x 2 )( x 2 ) 2x(27 x3 )			2x 4 (27 x3 )
		3				3			3		3
		3	3			3			3		3
			3
	5				54x
2x(27 x3 )	3 (27 x3 x3 )				54x			0;

							5
							5

					(27 x3 ) 3

x 0;

x 3 нанесем на ось, т. к. в ней функция определена.

y''	+	-	+
				Х

	0		3
График выпуклый вверх		при	x (0;3) и выпуклый вниз при

x ( ;0); x (3; ) .

f (0) 3; f (3) 0 , значит, точки с координатами (0,3) и (3;0) - точки перегиба.

Построим график функции (рис. 5).

Рис. 5

7. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции (рис. 6). При каком наклоне φ боков "мокрый периметр" сечения будет наименьшим, если площадь "живого сечения" воды в канале равна S, а уровень воды равен h?

Решение:

"Мокрый периметр" Р определяется по

формуле

P a

sin

Площадь "живого сечения" воды:

S h(a h ctg ) .

Выразим из этой формулы а:

S h2 ctg

h ctg .

Рис. 6

Тогда

P( )

h ctg

;

sin

φ - независимый аргумент;

(0;

] .

P '( )

2h cos

(1 2 cos );

sin 2

P '( ) 0;

1 2 cos 0;

cos

Значит, 3 - точка минимума.

Следовательно, при 3 "мокрый периметр" будет наименьшим. Ответ: 3 .

Примеры решения задач повышенной сложности

В данном разделе представлено решение задач типа 6 и 7 из РГР "Графики".

1. Дано бревно с круглым сечением диаметра d (рис. 7). Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей прочности.

Решение:

Прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению bh2 , где b - основание прямоугольника в сечении балки, а h - его высота.

h2 d 2 b2 .

d h

Рис. 7

Значит, в точке b

Пусть y - прочность произвольной балки, тогда

y kbh2 kb(d 2 b2 ) ,

где k - коэффициент пропорциональности, k 0 . Получили функцию y f (b) , где

b - независимая переменная, меняется в промежутке (0;d).

y ' k((d 2 b2 ) 2b2 ) k(d 2 3b2 );

y ' 0; b

;

(0; d ).

y '' 6kb;

y ''(

) 0.

	d			достигается максимум, а с ним и наибольшее


	3
	3

значение. При b

h d

, так что d : h

3 : 2 :1 или h : b 2 :1.

Ответ: h : b 2 :1.

2. Электрическая лампочка передвигается на блоке по вертикальной прямой ОВ (рис. 8). На каком расстоянии от горизонтальной плоскости ОА ее следует поместить, чтобы в точке А этой плоскости получить наибольшую освещенность?

Решение:

Освещенность J пропорциональна sin и обратно пропорциональна квадрату расстояния r, т. е.

J c sin , r 2

где с зависит от силы лампочки. Обозначим ОВ=h, OA=a.

sin

;

J c

h / r

J (h), г де 0 h .

r 2

(h2 a 2 ) 2

Рис. 8

(h2 a 2 ) 2 h

(h2 a 2 ) 2

(h2

a 2 ) 2 (h2 a 2 3h2 )

a 2

2h2

J '(h) c

;

(h2 a 2 )3

(h2

a 2 ) 2

J ' 0;

;

(0; ).

При переходе через

точку

производная меняет знак с плюса на

минус,

значит,

- точка максимума функции J(h). Следовательно,

есть наивыгоднейшее расстояние.

Ответ: h

3. Исследовать функцию y

arctg

(x 1)

и построить ее график.

1.Область определения функции: x R .

2.Выясним, является ли функция четной или нечетной:

f ( x)		arctg		( x 1)2
	6
				3

f ( x) f (x);			f ( x) f (x) ,

значит, функция общего вида.

3.Найдем нули функции:

arctg (x 1)2 0; 6 3

	arctg		(x 1)			2	;
6

				3
				3
(x 1)2		tg			;			(x 1)	2	1	;
				6
	3					3				3
	3					3				3
x1 0;		x2		2.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

y	-	+		-
					x
		-2	0

4.Вертикальных асимптот нет.

5.Найдем наклонные асимптоты:

Общий вид уравнения асимптоты y kx b .

arctg

/ 6

k lim

f (x)

lim

(x 1)2

b lim ( f (x) kx) lim (

arctg

)

;

значит,

- правая наклонная асимптота .

arctg

/ 6

k lim

f (x)

lim

(x 1)2

b lim ( f (x) kx) lim(

arctg

)

;

значит,

- левая наклонная асимптота .

Значит,

- горизонтальная асимптота.

6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

f '(x)	1			2	(x 1)		6(x 1)		;
		(x 1)4			(x 1)				;
			3			3(3 (x		1)4 )
1			3			3(3 (x		1)4 )
1	3
	3
f '(x) 0;	x 1.

y'	+	-
		х
		х
		-1

Следовательно, функция возрастает при x ( ; 1) и убывает при

x( 1; ) .

x1 - точка максимума, f ( 1) 6 - максимум функции

7. Найдем интервалы выпуклости вниз и вверх графика функции:
	f ''(x)		6 3 (x 1)4		(x 1) 4(x 1)			3	18 (x 1)4 1			0;

				3(3	(x 1)4 )2					3(3 (x	1)4 )2
				3(3	(x 1)4 )2					3(3 (x	1)4 )2
(x 1)		4 1 0;		x 0;	x	2	2.
				1		2
			+				-		+
	y''		+				-		+			x
												x
					-2			0
					-2			0

График	выпуклый вверх при x ( 2;0) и выпуклый вниз при
x ( ; 2); x (0; ) .
f ( 2) 0;	f (0) 0 , значит, точки с координатами (0,0) и (-2;0) - точки

перегиба.

Построим график функции (рис. 9).

Рис. 9

4. Исследовать функцию y ln	x 1	и построить ее график.
	x 2

1.Область определения функции:

x1 0; D( y) : x ( ; 2) ( 1; ) .

2.Функция общего вида.

3.Найдем нули функции:

ln	x 1	0;	x 1	1;	1	0
	x 2		x 2		x 2

нет решений, значит, нулей функции нет.

С учетом области допустимых значений видим, что при x ( ; 2) график лежит выше оси Ох и при x ( 1; ) график лежит ниже оси Ох.

4.	Найдем вертикальные асимптоты, для этого вычислим
односторонние пределы:
	lim	ln	x 1	;
			x 2
	x 2 0
	lim	ln	x 1	.
			x 2
	x 1 0
Значит, x 1 и x 2 - вертикальные асимптоты.
5.	Найдем наклонные асимптоты (при вычислении k воспользуемся
правилом Лопиталя):

k lim f (x)

x x

b lim(

ln((x 1) /( x 2))

x 2

lim

(x 2)2

x x

f (x) kx) lim( ln

x 1

) lim( ln

1 1/ x

) 0.

x 2

1 2 / x

Следовательно, y 0 - наклонная асимптота.

6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

	f '(x)	x 2	1		1	;
	f '(x)	x 1	(x 2)2		(x 1)(x 2)	;
		x 1	(x 2)2		(x 1)(x 2)
	f '(x) 0;
y'	+				+
							x
	-2			-1			x

Таким образом, функция возрастает на всей области определения. 7. Найдем интервалы выпуклости вниз и вверх графика функции:

f ''(x)	x 1 x 2	2x 3	0;

	(x 1)2 (x 2)2	(x 1)2 (x 2)2

x32 ;

x32 не входит в область допустимых значений.

y''	+		-
	-2	-1	x
	-2	-1

Значит, график функции выпуклый вниз при x ( ; 2) , и выпуклый вверх при x ( 1; ) .

Построим график функции (рис. 10).

Рис. 10

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20156.43 Mб1281контрольная(матан).docx
#
11.02.20151.19 Mб57Grafiki.pdf
#
11.02.201530.61 Кб18Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015118.63 Кб160Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015223.74 Кб14Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20181.53 Mб19Лекции по матану.doc
#
11.02.20152.53 Mб354матан 3 семестр.pdf