23.Построение в-сплайна.

Рассмотрим ещё один способ построения гладких кривых по форме В-сплайна. Будем использовать параметрическое представление кривых. Любая точка части кривой между двумя заданными последовательными точками ибудет иметь координатыи, гдеувеличивается отдо, если отслеживается часть кривой от точкидо точки. Можно считать, что- это время.

Если имеются заданные точки

то часть кривой В-сплайна между двумя последовательными точками иполучается путем вычисления функцийидля измененияотдо

Эти уравнения содержат следующие коэффициенты:

а коэффициенты вычисляются по значенияманалогичным образом. Вышеприведенные формулы пригодны для эффективных вычислений. Вычисление значенийпроизводится быстрее по правилу Горнера, чем по обычному полиномиальному выражению. Коэффициентывычисляются только однажды для каждого сегмента кривой, что очень важно, поскольку на каждом сегменте кривой может вычисляться большое число промежуточных точеки.

Для получения некоторого представления о свойствах кривой в точках стыковки двух сегментов рассмотрим функцию и ее первую и вторую производные для значенийи(функциябудет обладать аналогичными свойствами)

Используя уравнение коэффициентов, после упрощения получаем

Можно видеть, что значение не равно в точности-координатеточки: оно зависит от позиций точеки. Из рисунка 5.1.7 видно, что точкаявляется точкой сегмента, но одновременно и начальной точкой сегмента.

Для первого сегмента имеем

Рис.5.1.7. Три последовательные точки

где через обозначено вычисленное значение координатыдля точки. Рассматривая эту же точку как принадлежащую сегменту, получим

Отсюда видно, что оба способа вычисления значения дают одинаковый результат, что означает непрерывность функциив точке. Продифференцировавдважды, найдем производныеи. Подставляя в них значенияи, как это было сделано для, можно будет убедиться, что производные непрерывны в точке. Поскольку функцияи ее первые

две производные тоже непрерывны, то становится ясно, что кривая В-сплайна очень гладкая.

Для расчета любого сегмента кривой между точками . ииспользуются также точкии. Из этого следует, что первый сегмент кривой будет располагаться между точкамии, а последний — между точкамии. Так что начальная и конечная точки всей кривой будут располагаться вблизиино не вблизии. Приведенная ниже программа считывает числа

из файла CURV.DAT. При выводе каждая из точек обозначается маркером в виде креста. Затем вычерчивается кривая В- сплайна.

/* CURVFIT: Сглаживание кривой с применением В-сплайна */

/* Curve fitting using В splines */

#include "stdio.h"

#define MAX 100

#define N 30

main()

{ float x[MAX], y[MAX], eps=0.04, X, Y, t, xA, xB, xC, xD,

yA, yB, yC, yD, a0, a1. a2, аЗ, bО, b1, b2, bЗ;

int n, i, j, first;

FILE *fp;

Fp=fopen(“curv.dat", "r");

if (fp==NULL) { printf /* "There is no file curv.dat" */

("Нет файла curv.dat\n”); exit(1); }

fscanf(fp, "%d", &n):

for(i=0;i<=n;i++)

if (fscanf(fp,"%f %f", x+i, y+i)<=0)

{ printf /* "Reading beyond the end of file curv.dat" */

("Считывание выходит за пределы файла curv.dat\n”); exit(1);

}

initgr();

/* Mark the given points: */

/* Заданные точки отмечаются маркером: */

for(i=0;i<=n;i++)

{X=x[i];Y=y[i];

move(X-eps, Y-eps); draw(X+eps, Y+eps);

move(X+eps, Y-eps); draw(X-eps, Y+eps);

}

first=-1;

for(i=1;i<n-1;i++)

{ xA=x[i-1]; xB=x{i]; xC=x[i+1]; xD=x[i+2];

yA=y[i-1]; yB=y[i]; yC=y[i+1]; yD=y[i+2];

a3=(-xA+3*(xB-xC)+xD)/6.0; b3=(-yA+3*(yB-yC)+yD)/6.0;

а2=(хА-2*хВ+хС)/2.0; b2=(уА-2*уВ+уС)/2.0;

a1=(xC-xA)/2.0; b1=(уС-уА)/2.0;

a0=(xA+4*xB+xC)/6.0; b0=(уА+4*уВ+уС)/6.0;

for(j=0;j<=N;j++)

{t=(float)j/(float)N;

X=((a3*t+a2)*t+a1)*t+a0;

Y=((b3*t+b2)*t+b1)*t+b0;

it (first) { first=0; move(X, Y);} else draw(X, Y);

}

}

endgr(); fclose(fp);

}