2. Тепловые машины

Технические устройства, циклически преобразующие теплоту в работу, то есть преобразующие энергию хаотического, беспорядочного движения микрочастиц в механическую энергию макроскопических тел, называются тепловыми машинами.

Принципиальные ограничения, связанные с работой тепловых машин, были выяснены при рассмотрении идеализированной тепловой машины, придуманной французским инженером Сади Карно. Рабочим телом в машине Карно служит идеальный газ, совершающий циклической процесс, состоящий из четырех процессов – двух изотермических и двух адиабатных. Сначала газ изотермически расширяется, забирая теплоту у более горячего резервуара тепла («нагревателя»), затем продолжает расширяться, но уже без поступления теплоты, то есть адиабатно, охлаждаясь до температуры более холодного резервуара («холодильника»). На этих двух этапах газ совершает положительную работу. Чтобы вернуть газ в первоначальное состояние, его следует сжать (газ должен совершить отрицательную работу). Чтобы затратить при сжатии газа меньшую работу, чем была получена при расширении, сжимать газ необходимо при более низкой температуре (в этом смысл «холодильника» тепловой машины). Карно обнаружил, что коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины зависит только от

температур нагревателя и холодильника и рассчитывается по формуле

(2.1)

где А – работа за цикл; Q₁ – взятая у нагревателя теплота; Q₂ – отданная холодильнику теплота; Т₁ и Т₂ – температуры нагревателя и холодильника.

Цикл Карно принципиально верно отражает работу любого теплового двигателя, так как рабочее тело обязательно должно получать теплоту от некоторого резервуара тепла в процессе своего расширения (с совершением положительной работы), а также необходим отвод теплоты при сжатии рабочего тела (чтобы совершить меньшую отрицательную работу).

Будучи идеальным, цикл Карно является предельным по эффективности циклом относительно любой реальной тепловой машины. Это следует из предположения об отсутствии каких-либо потерь или нерационального расходования энергии на всех этапах, что связано с полной обратимостью всех рассматриваемых в машине Карно процессов.

Задача 2.1

Что эффективнее повышает КПД машины Карно – увеличение температуры нагревателя Т₁ на Т (при фиксированной температуре холодильника) или понижение температуры холодильника Т₂ на такую же величину Т при фиксированной температуре нагревателя?

Анализ и решение

Формула (2.1) дает аналитическую зависимость КПД от температур нагревателя и холодильника. Здесь следует воспользоваться дифференциальным выражением для быстроты изменения функции двух переменных при независимом изменении аргументов

Подставив сюда производные, вычисленные из выражения (2.1), имеем

Для нахождения ответа на вопрос задачи остается найти отношение этих приращений КПД, которое оказывается меньше единицы:

что означает большее влияние на увеличение КПД понижения температуры холодильника, чем влияние повышения температуры нагревателя. Однако на практике КПД увеличивают повышением температуры нагревателя, так как можно быстро поднять температуру рабочего тела, но нельзя быстро ее понизить, а время одного цикла играет в технике существенную роль.

Задача 2.2

Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу Карно, отбирает теплоту у резервуара с водой при температуре 273 К и передает ее резервуару с водой, имеющему температуру 373 К. Сколько воды в горячем резервуаре превращается в пар, если в холодном образуется 1кг льда. Удельная теплота кристаллизации воды при образовании льда L = 3,33·10⁵ Дж/кг, удельная теплота парообразования r = 2,26·10⁶ Дж/кг.