Бесконечно большие величины.

Опр. 1: Переменная , называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа существует такой номер , что если

Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: (где– «или»)

по другому:

Опр. 2: Объединения 2-х промежутков , называются -окрестность бесконечности.

Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.

Пример: , если

1)

2)

-2, 4, -8, 16, -32, …

n=1n=2n=3n=4n=5

Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины

– положительные б.б.

– отрицательные б.б.

Леммы о бесконечно больших.

ЛЕММА №1:

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…

ЛЕММА №2:

Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.

№24.  Бесконечный предел.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .

два замечательных предела:

1) 

2)

№25.Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}. Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn} Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}. Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn}  последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

№26. Действия над сходящимися последовательностями

     Последовательности складываются, вычитаются или умножаются путем сложения, вычитания или умножения их соответствующих членов. Если есть две последовательности:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., {a_n}

и

b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ..., {b_n},

то получим их сумму в виде

(a₁ + b₁), (a₂ + b₂), (a₃ + b₃), ..., (a_n + b_n), ..., {a_n} + {b_n},

разность в виде

(a₁ - b₁), (a₂ - b₂), (a₃ - b₃), ..., (a_n - b_n), ..., {a_n} - {b_n},

а их произведение в виде

(a₁  b₁), (a₂  b₂), (a₃  b₃), ..., (a_n  b_n), ..., {a_n}  {b_n}.

     Частное от деления двух последовательностей получим как частное от деления членов последовательности {a_n} на соответствующие члены последовательности {b_n} при условии, что в последовательности {b_n} нет членов равных нулю.

№27. Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.