Доказательство

Поделим с остатком многочлен  на многочлен :

Так как , то  — многочлен степени не выше 0. Подставляя , поскольку , имеем .

[Править]Следствия

• Число a является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда  делится без остатка на двучлен  (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена  тождественно множеству корней соответствующего уравнения ).

• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

• Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

№21.Числовая ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Опр. 1: Последовательностью называется множество чисел, пронумерованных с помощью чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.

– общий член последовательности.

N– номер члена последовательности, играет роль аргумента функции. Фактически задает последовательность целочисленных аргументов.

– функция целочисленных аргументов.

Выражение примеров последовательности:

ПРИМЕРЫ:

1. – общий член последовательности.

;

2.

Будем различать последовательности, имеющие предел, и не имеющие предела. Общий член последовательности – переменная величина, значение которого определяется номеромN. Эта величина является функцией аргументаN

№22. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Опр. 1: Постоянное число называется пределом переменной,если для любого сколь угодно малого числа , существует такой номер , что при выполнении неравенства следует выполнение неравенства:

В силу леммы о вещественных числах (№1) одно неравенство с модулем (1) равносильно двойному неравенству:

Неравенство (2) определяет на оси E так называемуюE – окрестность точкиa.

Неравенство (2) означает, что переменная точка находится вE – окрестности точкиa.

Постоянное число aназывается пределом переменной ,если для любой сколь угодно малойE – окрестности точкиa начиная с некоторого номера n (n > N), точка попадает в этуE – окрестность, и при своем дальнейшем изменении будет там находиться.

№23. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. И большие

Опр. 1: Переменная называется бесконечно малой, если её пределом является нуль.

Определение на языке : Переменная называется бесконечно малой, если для любогоE > 0 существует такой номерN, что при выполнении неравенстваn > N, следует выполнение неравенства:

ПРИМЕРЫ:

1.

2.

3. – не имеет предела.

ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИНАХ.

ЛЕММА №1:

Для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное числоa,необходимо и достаточно выполнения равенства:

– бесконечно малая величина.

Результат следует из того, что разность есть расстояние от точки до её предела , это расстояние стремится к нулю, т. к. , и наоборот: если расстояние стремиться к нулю, то .

ЛЕММА №2:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, есть величина бесконечно малая.

Опр. 2: Переменная называется ограниченной, если существуют такиеmиM, что для всех выполняется равенство:

ПРИМЕР:

1. Sin n – ограниченное, т. к.|sin n| ≤ 1.

2. 

3. – не является ограниченным.

(О. П. – ограниченная переменная).

ЛЕММА №3:

Произведение о. п. на б. м. есть величина б. м.

Пусть