09-09-2014_19-56-35 / Лекция_1_СТ

Лекция 1

Предмет теории вероятностей

Задачи де Мере.

1.Игральная кость бросается 4 раза. Шевалье бился о заклад, что хотя бы один раз выпадет 6 очков. Какова вероятность выигрыша? (При этих условиях шевалье чаще выигрывал, чем проигрывал. С ним перестали играть.)

2.Две игральные кости бросаются 24 раза. Шевалье бился о заклад, что хотя бы один раз выпадут две шестерки. Какова вероятность выигрыша? (При этих условиях шевалье разорился.)

ТВ занимается изучением массовых (многократно повторяемых) однородных (т.е. происходящих при одних и тех же условиях) случайных событий. В частности, она позволяет давать количественную оценку возможности появления события, сравнивать события по мере возможности их наступления.

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

§ 1. Случайное событие, закон устойчивости относительных частот

При осуществлении совокупности условий могут происходить различные события, которые мы будем обозначать заглавными буквами A, B, C, D, … . События, которые обязательно происходят, называются достоверными (обозначаются); которые не могут произойти — невозможными (обозначаются ); которые могут произойти, а могут и не произойти — случайными.

Осуществление совокупности условий называется испытанием (опытом, наблюдением, экспериментом). Количество испытаний может быть любым и может неограниченно увеличиваться.

Отношение числа m наступлений некоторого события А к общему числу проведенных испытаний n называется относительной частотой (частостью) события А:

p A mn .

Очевидно, что 0 p A 1.

Основой для создания ТВ послужил следующий опытный факт: при неоднократном проведении большого числа испытаний относительная частота события А, меняясь от случая к случаю, колеблется около некоторого постоянного для данного события числа. (Закон устойчивости относительных частот). Это число и

называется вероятностью события А; обозначается p A : p A p A . p A и называют статистической вероятностью.

Статистическая вероятность — оценка апостериорная, а нужна априорная.

Пример. Монету подбросили 100 раз ( n ), герб выпал 54 раза ( m ). Пусть А — выпадение герба. Относительная частота p A 10054 0,54 . Вероятность p A для

правильной монеты p A 0,5, 0,54 0,5. При другой серии из 100 подбрасываний этой монеты относительная частота, вообще говоря, изменится, но останется приближенно равной 0,5.

Как появилось число 0,5?

§ 2. Классическая и геометрическая вероятности

Простейшие результаты испытания часто называют исходами. Полезно различать следующие события (исходы).

События называются равновозможными, если ни одно из них не имеет преимуществ в появлении перед другими.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Классической вероятностью события A (обозначается P A ) называется отношение числа m исходов, благоприятствующих данному событию A (т.е. их появление влечет за собой появление события А), к общему числу n всех несовместных, единственно-возможных и равновозможных исходов:

P A mn .

Пример 1. Бросание монеты. А — выпадение герба.

Пример 2. Бросание игральной кости. А — выпадение 4; В — выпадение четного числа очков; С — выпадение более 4 очков; D — выпадение менее 7 очков; F — выпадение менее одного очка.

Если множество несовместных, равновозможных и единственно возможных исходов бесконечно и им можно сопоставить точки некоторой геометрической фигуры G (линейной, поверхностной или объёмной), а исходы, благоприятствующие событию A , можно сопоставить точкам фигуры g , включенной в G , то геометрической вероятностью события A называется

P A mesGmesg ,

где mes — мера фигуры (длина, площадь или объём).

Пример 3. После бури на участке дороги между 40 и 70 км телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность, что обрыв произошел между

55 и 62 км?

Пример 4. Мэрвин заканчивает работу и приходит на станцию метро в произвольный момент времени между 17 и 18 часами. Его мама и невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы пообедать с ней и с невестой равны, так как поезда в обоих направлениях ходят одинаково часто. Однако Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 дней. Объясните это явление.

Пример 5. Из отрезка 0; 1 наудачу выбираются два числа p и q . Найдите вероятность того, что многочлен x2 px q имеет действительные корни (событие

А).

Решение.

§ 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Основными понятиями теории вероятностей являются:

Элементарные события E1 , E2 ,..., En и множество этих событий

E1 , E2 ,..., En , называемое пространством элементарных событий.

Определение. Любое подмножество А пространства элементарных событий A называется событием.

Т.к. события определяются через множества, то, как и множества, их можно складывать (объединять ), умножать (пересекать ), переходить к противоположному событию A (дополнению A ).

Определение. Произведением (пересечением) событий A и B называется событие, состоящее совместном появлении этих событий и обозначаемое A B .

Определение. Суммой (объединением) событий A и B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий и обозначаемое A B .

Определение. Противоположным событию A (дополнением события А ) называется событие, состоящее в непоявлении события A и обозначаемое A .

Определение. Событие, не содержащее никаких элементов, называется пу-

стым множеством или невозможным событием.

Определение. События называются несовместными, если их произведение является невозможным событием.

Определение. Пространство называется достоверным событием.

Множество всех событий, т.е. множество всех подмножеств множества , вместе с введёнными операциями, объединения , пересечения и дополнения образует булеву алгебру событий.

Задание. Распишите аксиоматику булевой алгебры применительно к алгебре событий.

Аксиомы А. Н. Колмогорова

1. Каждому событию A B( ) сопоставляется неотрицательное число P( A ) : P( A ) 0;1 , называемое вероятностью этого события.

2.Вероятность достоверного события равна единице P( ) 1 , а невозможного равна 0: P( ) 0 .

3.Если A1 , A2 ,..., An (A1 , A2 ,.., An ...) попарно несовместны (не пересекаются), то веро-

Из этих аксиом можно получить простейшие следствия:

Сл.1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 0 P( A) P( A) 1.

Сл. 2. Сумма вероятностей событий, образующих ПГНС, равна 1. (Говорят, что события A1 , A2 ,..., An образуют полную группу несовместных

событий (ПГНС), если они попарно несовместны, а их сумма дает все пространство .)

Сл. 3. Принцип практической уверенности. Если должен осуществляться опыт со случайными исходами, и вероятность появления А достаточно мала P A 0 , а значит, вероятность противоположного события А достаточно велика P A 1, то следует поступать так, будто первое событие не произойдет, а второе произойдёт.

Какую вероятность следует считать достаточно маленькой и достаточно большой, зависит от ситуации.

§4. Теоремы сложения

Теорема сложения для двух событий

P( A B) P(A) P(B) P(A B)

Теорема сложения для трех событий

p A B C p A B C p(A) p(B) p(C) p(A B) p(A C) p(B C) p( A B C) .

Теорема сложения для n событий:

§4. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения

Определение. Условной вероятностью события B при условии А (обозначается PA (B) или P(B / A) ) называется вероятность события B , вычисленная в предположении, что событие А произошло.

Теорема умножения 1.

Вероятность совместного появления событий А и B равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое произошло

P(A B) P(A) PA (B).

Пример 1. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Наудачу поочередно вынимаются два из них. Найдите вероятность того, что вынуты 2 белых шара.

Замечание. Теорема 1 распространяется на любое конечное число событий.

Теорема умножения 1/.

Вероятность P A1 A2 A3 An совместного появления событий А1 , А2 , А3 , …, Аn равна произведению вероятности первого на условные вероятности остальных, вычисленных в предположении, что все предшествующие события произошли

P A1 A2 A3 An P A1 PA1 A2 PA1 A2 A3 PA1 A2 An 1 An .

Пример 2. В урне 8 чёрных, 6 красных и 4 белых шара. Последовательно вынимают 3 шара. Найдите вероятность того, что первым вынут чёрный шар, вторым — красный, а третьим — белый.

Определение. События А и B называются независимыми, если условная вероятность каждого из них равна его безусловной вероятности. События

A1 , A2 ,....., Ak называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных независимы.

Теорема умножения 2.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий P(A B) P(A) P(B).

Эта теорема распространяется на любое число независимых в совокупности событий. Сформулируйте её.

Пример 1. Два студента сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятность сдачи для первого 0,8, а для второго —0,7. Найдите вероятности следующих событий:

A— оба студента сдадут экзамен,

В— оба студента не сдадут экзамен,

A— хотя бы один студент сдаст экзамен.

Пример 2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого 0,8, а для второго —0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена. (Сравните с примером 1.)