3. Разность множеств. Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения, определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, разность – {1,3} (см. рис. 3).

Рис. 3. Разность множеств

Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств.

4. Дополнением множества Х называется разность I и Х (см. рис. 4).

Рис. 4. Дополнение множества

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов:

X I X = .

2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х, или его дополнению.

X U X = I .

Из формулы 2 вытекает еще одно важное свойство:

X = X .

Законы и тождества алгебры множеств:

X ∩ Y = Y ∩ X – коммутативность пересечения.

(X ∩ Y) ∩Z =X ∩ (Y ∩ Z) =X ∩ Y∩Z – ассоциативность пересечения. X U Y = Y U Y – коммутативность объединения.

(X U Y) U Z =X U (Y U Z =X U Y U Z – ассоциативность объединения.

X U = X.

X ∩ = .

X ∩ I = Х.

XUI = I.

Транзитивность

(X UY)IZ =(X IZ)U(Y IZ) .

158 Информатика и математика

5. Декартовым произведением двух непустых множеств Х и У называется множество ХхУ, состоящее из всех упорядоченных пар:

Х×У = {(x,y) / x X; y Y).

Если одно из множеств пустое, то и ХхУ пустое.

Например: X = {1, 2}, Y = {1, 2, 4}, тогда:

X×Y = {(1,1); (1,2);(1,4);(2,1);(2,2);(2,4)};

Y×X = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(4,1);(4,2)}.

Обратим внимание, что речь идет об упорядоченных парах, в отличие от множеств (1,2)≠(2,1).

Примером декартова произведения является система координат – пара чисел, обозначающая широту и долготу. Частный случай декартова произведения множества самого на себя называется степенью множества. Так, привычная система координат на плоскости есть не что иное, как декартово произведение множества вещественных чисел само на себя или квадрат множества вещественных чисел:

R×R=R2,

и любая точка на плоскости задается (х, у) . Из приведенного примера видно, что

Х×У≠У×Х.

3. Рассмотрим два множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться один с другим, образуя пары (а, b). Если задан способ такого сопоставления, то говорят, что между множествами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В.

Соответствием между множествами А и В называется любое подмножество R= АхВ – декартова произведения множеств.

Например: Рассмотрим два множества:

А= {Гагарин, Дунаевский, Носов, Рахманинов}

В= {1900,1901,….2000} – годы XX в.

Установим соответствие между множествами: человек – год рожде-

ния.

Г = {(Гагарин, 1934);(Дунаевский, 1900);(Носов,1908)} (Рахманинов, 1873), естественно, не вошел в множество. Множество DR, таково, что DR, = {a A : b B (a,b) R}, оно называется областью определения соответствия R.

Множество BR, такое, что BR, = { b B: (a,b) R}, и

называется областью значений соответствия R или образом,

т.е. соответствие можно задать ООС, ОЗС и законом, определяющим соответствие.

Если каждому элементу множества Х ставится в соответствие один или болееэлемент множестваУ, то говорят, что задано отображение Х на У.