Выполнение арифметических операций в разных системах счисления

В позиционных системах счисления основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Особенностью выполнения вычислений является лишь то, что перенос в старший разряд осуществляется тогда, когда результат оказывается больше или равен основанию данной системы.

Рассмотрим некоторые арифметические операции в двоичной системе счисления. В этой системе существуют следующие правила сложения и вычитания:

1+1=10 10-1=1

1+0=1 10-10=0

0+0=0 10-0=10

Разбор заданий

Сложить два числа в двоичной системе счисления А и В.

А=1101001; В=1011101111

₊ 1011101111

1101001

1101011000

Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_1101011000

1011101111

1101001

3. Найти сумму чисел А и В в восьмеричной системе счисления

А=56744₈; В=2765₈

₊ 56744

2765

61731

4.Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_ 61731

2765

56744₈

5. Найти сумму чисел А и В в шестнадцатеричной системе счисления

А=960А74₁₆; В=В7685Е₁₆

₊96 0А74₁₆

В7685Е₁₆

14D72D2₁₆

6.Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_14D72D2₁₆

В7685Е₁₆

960A74₁₆

Представление целых чисел в эвм

В компьютерах для кодирования целых чисел используется двоичная система счисления. Одна двоичная цифра называется бит. Для хранения чисел используется фиксированное число бит: 8, 16 или 32. В дальнейшем будем считать, что размер ячейки памяти равен 16 битам.

Для того чтобы отличать отрицательные числа от положительных, самый правый разряд отводится под знак числа – он называется знаковым. Для положительных чисел знаковый разряд равен 0, для отрицательных равен 1. Этот разряд отделяется от других двоеточием.

45₁₀– десятичное число,

0101101₂– число “45” в двоичной системе счисления,

[0:000000000101101]_пр– “45” в прямом коде, знаковый бит равен 0.

45₁₀= 0101101₂= [0:000000000101101]_пр.

-0101101₂– число “-45” в двоичной системе счисления,

[1:000000000101101]_пр– “-45” в прямом коде, знаковый бит равен 1.

-45₁₀= -0101101₂= [1:000000000101101]_пр.

Примечание: целые положительные числа всегда представляются в прямом коде.

Однако результат действий с отрицательными числами в прямом коде будет неверный, поэтому для записи отрицательных чисел используется другой код – дополнительный. При переводе отрицательных чисел из прямого в дополнительный используется промежуточный код, который называется обратным.

Правило перевода отрицательного числа из прямого кода в обратный код: для того чтобы представить отрицательное число в обратном коде, надо все биты числа в прямом коде, кроме знакового, заменить на противоположные (0 на 1, 1 на 0).

Правило перевода числа из обратного кода в дополнительный код: для того чтобы представить отрицательное число в дополнительном коде, надо к обратному коду этого числа прибавить единицу.

Например:

-0100011₂– число “-35” в двоичной системе счисления,

[1:000000000100011]_пр– “-35” в прямом коде, знаковый бит равен 1.

[1:111111111011100]_обр– “-35” в обратном коде,

[1:111111111011101]_доп – “-35” в дополнительном коде.

-35₁₀=-0100011₂=[1:000000000100011]_пр=[1:111111111011100]_обр= [1:111111111011101]_доп.

Примечание: целые отрицательные числа всегда представляются в дополнительном коде.

Для того, чтобы узнать количественное значение отрицательного числа, его необходимо перевести в прямой код.

Правило перевода отрицательного числа из дополнительного кода в прямой код: для того чтобы перевести отрицательное число из дополнительного кода в прямой, надо от дополнительного кода этого числа отнять 1, а потом заменить все биты, кроме знакового, на противоположные.

[1:111111101001100]_доп. =

= [1:111111101001011]_обр=

= [1:000000010110100]_пр=

= -10110100 = -180₁₀.

Действия над целыми числами.

Разбор заданий

При выполнении действий над целыми числами необходимо помнить, что они выполняются по правилам системы счисления в которой эти числа записаны.

Например: A₁₀ = 43, B₁₀ = 27,

Найти C = A + B, D = -A - B, E = A - B, F = - A + B.

1. Представление чисел A и B в двоичной системе счисления в прямом коде:

43₁₀= 101011₂,

A = [0:000000000101011]_пр,

27₁₀= 11011₂,

B = [0:000000000011011]_пр,

2. Представление чисел -A и -B в двоичной системе счисления в дополнительном коде:

-A = [1:000000000101011]_пр= [1:111111111010100]_обр = [1:111111111010101]_доп

-B = [1:000000000011011] _пр= [1:111111111100100]_обр = [1:111111111100101]_доп.

3. Выполнение действий (знаковый бит участвует в выполнении сложения): C = A + B

A= [0:000000000101011] _пр,

B= [0:000000000011011] _пр,

C= [0:000000001000110] _пр,

С = 1000110₂.

Проверим: С = 43 + 27 = 70₁₀, С = 1000110₂= 70₁₀.

D= -A-B= - (A+B),

A = [0:000000000101011] _пр,

B = [0:000000000011011] _пр,

D^* = [0:000000001000110] _пр,

D = -D^* = -1000110₂.

Проверим: D = -43 - 27 = -70₁₀, D = -1000110₂= -70₁₀.

E=A-B,

A = [0:000000000101011] _пр,

-B = [1:111111111100101] _доп,

E = [0:000000000010000] _пр,

E= 10000₂.

Так, знаковый бит результата равен 0, значит результат положительный в прямом коде. Единица переноса из знакового бита теряется.

Проверим: E = 43 - 27 = 16₁₀, E = 10000₂= 16₁₀.

F= -A+B,

-A = [1:111111111010101] _доп,

B = [0:000000000011011] _пр,

F = [1:111111111110000] _доп,

Так знаковый бит результата равен 1, значит результат отрицательный в дополнительном коде. Необходимо представить результат в прямом коде.

F = [1:111111111110000] _доп= [1:000000000001111]_обр= [1:000000000010000]_пр.

F = -10000₂.

Проверим: F = -43 + 27 = -16₁₀, F = -10000₂= -16₁₀.