27. Степенные ряды

Определение и

обозначение

(1)

(2) , где- постоянные коэффициенты

Радиус

сходимости.

Основная теорема

Для рядов (1) и (2) число, обладающие свойствами,- радиус сходимости

1) при

2) при

Свойства степенных рядов

1. ,- непрерывна

2. - сходится

3. - сходится

Алгоритм определения интервала сходимости

1.Найти или

2.Решить неравенство , получить интервал сходности

3.Исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала

Ряд Тейлора (по степеням )

Ряд Маклорена (по степеням )

Алгоритм разложения функции в степенной ряд.

1. Найти все производные в точке:

2. записать ряд Тейлора для :

3. Найти интервал сходимости полученного ряда

4. Найти , где- остаточный член формулы Тейлора

5. Если

№ п/п

Функция

Разложение в ряд

Интервал сходимости

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Определение

-коэффициенты ряда; -члены ряда (гармоники)

Теорема Дирихле разложения периодической функции в ряд Фурье

задана на

1) периодическая

2) кусочно-монотонная

3) ограниченная

в точках непрерывности

в точках разрыва,

где - сумма ряда Фурье

Коэффициенты Фурье

- ни четная, ни нечетная,

- четная,

- нечетная,

,

,

,

,

Алгоритм разложения функции в ряд Фурье

1. Построить график , установить четность или нечетность.

2. Определить коэффициенты Фурье.

3. Записать ряд Фурье функции и определить сумму ряда.

Разложение непериодической функции в ряд Фурье

1. заданную напродолжить (доопределить) напроизвольным способом

Затем разложить в ряд Фурье, считая заданной напо алгоритму.

В частности, можно продолжить на:

1. Четным образом

И разложить в ряд по косинусам по алгоритму.

1. Нечетным образом

И разложить в ряд по синусам по алгоритму.