- •Учебные карты. Часть 2
- •Введение
- •1. Таблица производных
- •2. Таблица интегралов
- •3. Методы интегрирования
- •4. Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
- •5. Интегралы от некоторых рациональных функций
- •6. Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции
- •7. Несобственные интегралы
- •8. Функции нескольких переменных
- •10. Задачи о массе фигуры
- •16. Приложение интегралов по фигуре в механике
- •17. Скалярное поле (стационарное)
- •18. Векторное поле. Характеристики векторного поля
- •19. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •21. Линейные однородные дифференциальные уравненияn-го порядка с постоянными коэффициентами
- •22. Линейные неоднородные дифференциальные уравненияn-го порядка с постоянными коэффициентами
- •23. Числовые ряды. Основные понятия
- •24. Числовые ряды с положительными членами
- •25. Знакопеременные числовые ряды
- •26. Функциональные ряды. Основные понятия
- •27. Степенные ряды
- •28. Разложение функции в степенной ряд
- •29 .Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды
- •30. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье
4. Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
Обозначение: ,
1. 2. (см. 1). 3. (см. 1). 4. (см. 1). 5. (см. 1). 6. (см. 1). 7. (см. 1). 8. 9. (см. 8). 10. (см. 8). 11. (см. 9). 12. (см. 8). 13. (см. 8). 14. . 15. . 16. . 17. . |
5. Интегралы от некоторых рациональных функций
Обозначение: .
1. . 2. ,. 3. ,. 4. ,. 5. ,. 6. ,. 7. ,. 8. ,. 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . |
6. Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . |
7. Несобственные интегралы
|
Условие |
Определение и обозначение |
Геометрическая иллюстрация сходящихся интегралов |
1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования |
- непрерывна на , где | ||
- непрерывна на , где | |||
- непрерывна на , где |
интеграл сходится, если сходятся оба интеграла | ||
2. Интегралы от неограниченных функций |
- точка бесконечного разрыва | ||
- точка бесконечного разрыва | |||
- точка бесконечного разрыва |
интеграл сходится, если сходятся оба интеграла сходятся | ||
|
Замечание 1. Если при отыскании предела окажется, что он не существует, то несобственный интеграл типа 1 и 2 называется расходящихся | ||
3. Теоремы сравнения |
- сходится, ,- сходится, | ||
- сходится - сходится абсолютно | |||
- расходится, - расходится | |||
Замечание 2. Теоремы сравнения имеют место и для всех интегралов типа 1 и 2 |
8. Функции нескольких переменных
Определение функции |
Графическое изображение |
Множество равных уровней |
Предел функции |
Непрерывность | |||
(функция отображает множествона множество) В частности, 1. ,. 2. ,. |
, .
- график функции
|
, где - линия уровня
, где - поверхность уровня |
, если 1. определена в некоторой окрестноститочки; 2. :
выполняется . Замечание. Предел функции не зависит от способа стремления т. к т. |
Функция называется непрерывной в точке, если: 1. определена в точкеи некоторой ее окрестности; 2. ; 3. или
где | |||
Частные производные |
Дифференциал | ||||||
Определение |
Геометрическое изображение |
Определение |
Применение дифференциала к приближенным вычислениям | ||||
, В частности, , ; Замечание. Частная производная по переменной находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причем, остальные переменные рассматриваются как постоянные. |
, , т.
; |
- дифференцируемая функция в т. , где при. - главная часть приращения – дифференциал
|
, , В частности, , ,
, где
|
9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2)
Сложные функции и их дифференцирование |
Неявно заданные функции и их дифференцирование | |||
1., где,.- полная производная 2., где, 3.где- полная производная |
Уравнение определяет неявное задание функциипеременныхи. , , где | |||
Приложения дифференциального исчисления | ||||
Экстремум функции 2-х переменных |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности | |||
Определение |
Необходимые условия существования экстремума |
Достаточные условия существования экстремума |
1) - уравнение поверхности - уравнение касательной плоскости - 2) - уравнение поверхности.
- уравнение кас. плоскости - уравнение нормали к поверхности | |
|
- стационарная точка функции . Замечание. Экстремум возможен и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует |
. 1. а) - т. б) - т. 2. - в точкенет экстремума 3. - требуются дополнительные условия |