24. Числовые ряды с положительными членами

Определение - действительные числа

Некоторые ряды и их поведение

1

Гармонический ряд расходится

2

Обобщенный гармонический ряд при

3

Ряд геометрический

при

В частности при ряды

расходится

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Признаки сравнения

Интегральный признак Коши

Признак Даламбера

Признак Коши

(1)

(2)

,

: непрерывная, положительная, невозрастающая

Замечание:

1.

где ,

(при )



и

одновременно сходятся или расходятся

а) - сход.

б) - расход.

а) - сход.

б) - расход.

2. а) сход.



сход

Замечание:

1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда.

2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода:

сход., расход.

б) расход.



расход.

Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и

Определение

, - действительные числа произвольного признака

В частности, ,- знакочередующийся ряд

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

1. исходятся- абсолютно сходится

2. сходится, арасходится- условно сходится

Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов

Признак абсолютной сходимости

Признак Лейбница

- знакопеременный

сходится абсолютно сходится

1)

сходится

2)



3)

Замечание:

1. В сходящемся знакочередующемся ряде суммаS может быть заменена . Получаемая погрешность

2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью производной. Если с некоторого номера, то члены рядаубывают с этого номера.

3. Если расходимость ряда установлена признаком Даламбера или признаком Коши, то и рядрасходится, т. к. еслиили, то.

Алгоритм исследования знакопеременного ряда на сходимость.

1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда и исследовать его сходимость.

2. а) сходитсяабсолютно сходится; б)расходится3 исследуй

3. Проверить условия признака Лейбница

Если 1) члены чередуются по знаку;

2)

3) то 1)сходится по признаку Лейбница

2) условно сходится, т. к.расходится

Понятие

Определение и обозначение

1. Функциональный ряд

2. Члены ряда

- функции от

3. Сходимость ряда в точке

сходится сходится в т.

расходится расходится в т.

4. Область сходимости ряда

сходится - область сходимости;- находится:

или ,

5. Последовательность частичных сумм

, где

,

6. Сумма сходящегося ряда

- сумма ряда

7. Остаток ряда

8. Равномерная сходимость ряда на

и

9. Абсолютная и равномерная сходимость ряда (признак Вейерштрасса)

1. и

2. числовой ряд - сходится



- сходится абсолютно и равномерно на

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. - равномерно сходится на

2. - непрерывнаи

3. - его сумма



1. - непрерывна на

2. , где(почленное интегрирование)

3. - равномерно сходится на, где

1. - сходится на,- его сумма

2. - дифференцируемыеи

3. - непрерывныи

4. - равномерно сходится на



1. - равномерно сходится на

2.

(почленное дифференцирование)