20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

Вид уравнения

Признаки

Метод понижения порядка

Частный вид при n=2

1.или

нет явно

Последовательное интегрирование (n-квадратур)

последовательное интегрирование (2 раза)

2.

нет явно

Подстановка

. . . . . . . . . . . . . . .

явно нет

,

3.

явно нет x

Подстановка

явно нет

,

4.

обладает признаками видов 2 и 3

Применяются последовательно подстановки и,

,

Вид уравнения:

- числа

Характер корней характеристического уравнения

Корни действительные, различные,

т. е.

Корни действительные, есть повторяющиеся, т.е.

(корень кратности m)

Корни комплексные, различные

и т. д.

Корни комплексные, есть

повторяющиеся

- пара корней

кратности

- общее решение денного уравнения, где

- произвольные постоянные,

- фундаментальная система решений данного уравнения.

Вид частных решений , соответствующих корням характеристического уравнения

,

. . .. . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . .

- характеристическое уравнение

Вид уравнения:

Метод вариации произвольных постоянных

Метод подбора частного решения

Если - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения находится по формуле

,

если

где находится из системы уравнений

Частный случай:

,

где инаходятся из системы уравнений

найти и

где - постоянные

- специальный вид правой части неоднородного уравнения (пусть )

Частное решение ищется в виде

, где – кратность корнейхарактеристического уравнения:

То есть зависит от правой частии от корней характеристического уравнения.

Структура общего решения:

,

где - общее решение соответствующего однородного уравнения,

- частное решение неоднородного уравнения.

Если - частное решение уравнения

- частное решение уравнения

,

то - частное решение уравнения

№ п/п

Понятие

Определение и обозначение

1.

Ряд

2.

Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда

- бесконечная числовая последовательность, где

3.

Частичные суммы ряда

4.

Последовательность частичных сумм

5.

Сходящиеся ряды

, где – сумма ряда

6.

Расходящиеся ряды

7.

Остаток ряда

Основные свойства сходящихся рядов

сходится

- сходится

сходится, – его сумма

сходится, - его сумма

сходится, – его сумма

- сходится

сходится, – его сумма

- его сумма

Необходимый признак сходимости ряда

- сходится

Замечание:

- расходится