17. Скалярное поле (стационарное)

Характеристики скалярного поля, заданного функцией или

Понятие

Определение и обозначение

Геометрическая иллюстрация

Вычисление

Скалярное

поле

Скалярным полем называется часть пространства, каждой точке которого соответствует скаляр (т. е. число)

1. Линия, поверхность уровня

Г. м. т., в которых принимает постоянное значение:

,

.

плоскопараллельное поле

эквипотенциальное поле

Уравнение линии уровня:

.

Уравнение поверхности уровня

.

2. Производная по направлению

в т.

В частности, если , то

3. Градиент поля в т.

–вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через точкув сторону возрастания функции

В частности, если , то

- единичный вектор нормали к

Понятие

Определение и назначение

Геометрическое изображение

Вычисление

1.Векторное

поле

Каждой точке соответствует значение векторной функции

, , – проекция вектора на оси,,

2.векторная (силовая) линия поля

Линия, во всякой точке которой вектор направлен по касательной к ней.

Система дифференциальных уравнений, определяющая векторные линии

3.Поток поля через поверхностьQ

где - единичный вектор нормали к поверхности

где

4. Дивергенция поля

(расходимость поля)

-объем, ограниченный поверхностью

;

т. - исток; т.- сток

- оператор Гамильтона, (- набла)

Поле - соленоидальное (трубчатое), если

5. Поток поля через замкнутую поверхность

Формула Гаусса – Остроградского (связь между потоком и дивергенцией поля)

R:

6. Ротор (вихрь) поля

Поле (M) – потенциальное (безвихревое) если

-

потенциал поля

7. Работа поля по перемещению точки вдоль кривой

, ,,

8. Циркуляция поля по контуру

Вычисляется аналогично пункту 7.

А=Ц, если Г – замкнутый контур.

(В потенциальном поле Ц=0).

9. Циркуляция поля по замкнутому контуру, являющемся границей поверхности

Формула Стокса устанавливает связь потока вектора с циркуляцией поля

(см п. 5),

вычисляется как в пункте 3

10.Циркуляция плоского поля по замкнутому контуру

Формула Грина устанавливает связь вихря с циркуляцией плоского поля

Тип уравнения

Вид уравнения

Признак типа уравнения

Указания к решению уравнения

1. Уравнение с

разделяющимися переменными

а)

б)

в)

а) нет явно

б)

в)

а)

б)

в)

2. Однородное

уравнение

а)

б)

а)

б)

а)

уравнение типа 1

б) уравнение вида 2 а)

3. Уравнение в

полных дифференциалах

или ,

где точка области определенияи

4. Линейное

уравнение

или

5. Уравнение

Бернулли (линейное обобщенное)

или

Решается тем же методом, что тип 4.