1. Таблица производных

Элементарные функции

Сложные функции

Степенные функции

1.

а.

b.

c.

d.

Показательные

функции

2.

а.

Тригонометрические функции

3.

4.

5.

6.

Логарифмические

функции

7.

a.

Обратные тригонометрические функции

8.

9.

10.

11.

Гиперболические

функции

12.

13.

14.

15.

Правила

дифференцирования

;

Элементарные функции

Сложные функции

Степенные

функции

1. ,

а. ,

b. ,

c. .

1.

b.

d.

Показательные функции

2. ,

a. .

2.

a.

Тригонометрические функции

3.

4.

5.

6.

3.

4.

5.

6.

Логарифмические функции

7.

7a.

Обратные тригонометрические функции

8.

9.

10.

11.

8.

10.

Гиперболические функции

12.

13.

14.

15.

18.

19.

20.

21.

Правила дифференцирования

16.

17.

, где

1. Непосредственное интегрирование

2. Замена переменной (подстановка)

3. Интегрирование по частям

Выполняется:

1. По таблице интегралов и свойствам:

а)

б)

в)

2. С использованием преобразований:

а) почленное деление; б) выделение целой части;

в) применение тригонометрических тождеств г) выделение полного квадрата

Применяется:

1. При интегрировании некоторых классов функций:

.

2. При наличии дифференциальной связи:

(за новую переменную принимают функцию, от которой в подинтегральном выражении есть дифференциал)

1.

2.

4. Стандартные приемы и подстановки при интегрировании некоторых классов функций

а) рациональные дроби

б) тригонометрические выражения

в) иррациональные выражения

1. Простейшие дроби

I. . II. .

III. . IV. ,.

Алгоритм преобразования дробей вида III и IV:

1) Выделить полный квадрат:

2) Применить подстановку:

3) Разложить на два интеграла вида: 7а, 11 (табличные).

4) Для дроби вида IV применить формулу:

.

2. Рациональные дроби вида

Алгоритм интегрирования:

1. Если дробь неправильная , то выделить целую часть.

2. Разложить знаменатель на простые множители:

.

3. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей

(*)

4. Привести правую часть равенства (*) к общему знаменателю и уравнять числители левой и полученной правой частей

5. Найти коэффициенты , применив к целому выражению:

а) метод частных значений ;

б) метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях;

6. Проинтегрировать простейшие дроби.

Универсальная подстановка

1.

Частные случаи:

1.1.

- нечетная относительно «»

1.2.

-

нечетная относительно «»

1.3.

- четная в совокупности.

2. , гдеичетные,

Применить формулы понижения:

3.

4. ,

Применяется: ,

1. Линейная иррациональность

, где - наименьший общий

знаменатель

2. Квадратичные иррациональности.

2.1.

2.2.

2.3.

3.

Смотри алгоритм интегрирования дроби вида III.

Сводится к интегралам 1, 9, 18 таблицы №2

4. ,

- обратная подстановка.