Вариант 21

 ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы теории множеств Даны множества:  и  Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …

3

 ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Метрические пространства Расстояние между точками  и  в метрике , где  и , равно …

			10
			1
			– 1

 ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества, изображенного на рисунке,   равна …

			1

  ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Отображение множеств Образом отрезка  при отображении y = 2^x является …

			[0,5; 2]
			[– 2; 2]
			[– 0,5; 2]

Решение: Образом множества  при отображении y = 2^x являются те точки  в  которые при данном отображении попадают точки x из  В нашем случае это множество

 ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …

 ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Значение частной производной  функции  в точке  равно …

  ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Основные методы интегрирования Множество первообразных функции  имеет вид …

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

  ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Функция  непрерывна на отрезке …

Решение: Определим точки разрыва данной дробно-рациональной функции, приравняв к нулю знаменатель:  Тогда данная функция непрерывна при всех x, кроме . Тогда  будет непрерывна, например, на отрезке  так как

  ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Однородные дифференциальные уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение: Запишем уравнение в виде  Сделаем замену Тогда   и уравнение запишется в виде Разделим переменные:  и проинтегрируем обе части последнего уравнения: Сделаем обратную замену:

  ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция  – общее решение однородного уравнения  а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид   Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, а  – является, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

 ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Типы дифференциальных уравнений Уравнение  является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

 ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами При решении системы дифференциальных уравнений  можно получить уравнение второго порядка вида …

  ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа Функция задана таблично: В интерполяционном полиноме Лагранжа 2-ой степени с узлами  составленном по этой таблице для приближенного вычисления  при условии  значение  не может быть равно …

			12
			6
			5
			8

Решение: Для получения интерполяционного полинома Лагранжа 2-ой степени требуются три узла  и значения данной функции в них:  Это могут быть любые три точки  из таблицы, удовлетворяющие двум условиям:  и  Следовательно, в качестве узла  нельзя брать 6, 8, 10, 11. Значит,  не может принимать значения 12, 13, 20, 23.

  ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем Для задачи Коши  выполнен один шаг получения приближенного решения методом Эйлера - Коши с шагом Тогда значение y₁, записанное с двумя знаками после запятой, равно …

			1,12
			0,9155
			1,11
			1,1155

Решение: По условию задачи известно, что начальная точка интегральной кривой имеет координаты:  Правая часть уравнения:  Получим следующую точку:

  ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Численное дифференцирование и интегрирование Значение дифференцируемой функции z = f (x, y) в точке  можно приближенно найти как …

Решение: Воспользуемся приближенной формулой В нашем случае        Тогда .

  ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле Значение ряда Фурье функции  в точке  равно …

			0
			– 1
			1

Решение: Значение ряда Фурье на границах отрезка задания  вычисляется по формуле  тогда

  ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Гармонические колебания Точка совершает гармонические колебания вдоль оси Ox с амплитудой  Тогда уравнение этих колебаний может иметь вид …