
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
.docx
ЗАДАНИЕ
N 1
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Численные методы решения дифференциальных
уравнений и систем
Для
задачи Коши
выполнен
один шаг получения приближенного решения
методом Эйлера с шагом
Тогда
точка
ломаной
Эйлера …
|
|
|
расположена ниже приближаемой интегральной кривой |
|
|
|
расположена выше приближаемой интегральной кривой |
|
|
|
принадлежит приближаемой интегральной кривой |
|
|
|
может лежать как выше, так и ниже приближаемой интегральной кривой |
Решение:
По
условию задачи известно, что начальная
точка ломаной Эйлера имеет координаты:
Пусть
методом Эйлера получена следующая точка
ломаной Эйлера:
где
Выясним,
где располагается точка
относительно
интегральной кривой, являющейся точным
решением данной задачи.
Вычислим
Получим
и
вычислим
Следовательно,
интегральная кривая данной задачи
выпукла вниз в точке
И
вообще, всюду в I координатной
четверти
Таким
образом, интегральная кривая, являющаяся
решением данной задачи в I координатной
четверти — выпуклая вниз функция.
Значение же
—
это значение ординаты касательной,
построенной к интегральной кривой в
точке (0;1), в точке
А
эта касательная расположена под графиком
интегральной кривой и
ЗАДАНИЕ N 2
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Интерполирование функций: интерполяционные
полиномы Лагранжа
Функция
представлена
таблицей:
Тогда
график многочлена, интерполирующего
эту функцию, пересекает ось
в
точке
с абсциссой …
|
|
|
5,5 |
|
|
|
11 |
|
|
|
6 |
|
|
|
0 |
Решение:
Через
две точки проходит единственный полином
1-ой степени, графиком которого является
прямая. Для получения интерполяционного
полинома Лагранжа 1-ой степени требуются
два узла
и
значения данной функции в них
:
Подставим
в эту формулу
Чтобы
получить абсциссу точки пересечения
этой прямой с осью абсцисс, приравняем
к
нулю:
то
есть
ЗАДАНИЕ N 3
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Численное дифференцирование и
интегрирование
Приближенное
значение интеграла
вычисленное
методом трапеций
с шагом h
=
0,5, равно …
|
|
|
1,375 |
|
|
|
1,33 |
|
|
|
|
|
|
|
2,75 |
Решение:
По
методу трапеций
где
Находим
Таким
образом,
ЗАДАНИЕ
N 4
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Числовые последовательности
Числовая
последовательность задана рекуррентным
соотношением
Тогда
значение выражения a5
–
a4
равно …
|
|
|
12 |
|
|
|
24 |
|
|
|
4 |
|
|
|
36 |
ЗАДАНИЕ N 5
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Сходимость числовых рядов
Сумма
числового ряда
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Представим
общий член этого ряда в виде суммы
простейших дробей:
и
вычислим n
– ую частичную сумму ряда:
Тогда
ЗАДАНИЕ
N 6
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Область сходимости степенного ряда
Радиус
сходимости степенного ряда
равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ
N 7
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Вычисление определителей
Определитель
равен
…
|
|
|
0 |
|
|
|
– 144 |
|
|
|
144 |
|
|
|
1 |
ЗАДАНИЕ
N 8
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Базис и размерность линейного
пространства
Разложение
вектора
по
векторам
и
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ
N 9
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Умножение матриц
Соотношение
AB = BA
выполняется, только для …
|
|
|
перестановочных матриц |
|
|
|
единичных матриц |
|
|
|
диагональных матриц |
|
|
|
нулевых матриц |
ЗАДАНИЕ
N 10
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Системы линейных уравнений
Метод
Гаусса для решения систем линейных
уравнений заключается …
|
|
|
в последовательном исключении переменных |
|
|
|
в последовательном исключении свободных членов |
|
|
|
в нахождении обратной матрицы |
|
|
|
в вычислении вспомогательных определителей системы |
ЗАДАНИЕ N 11
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Векторное произведение векторов
Площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
Решение:
Площадь
параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
равна модулю векторного произведения
этих векторов, то есть
В
нашем случае
Следовательно,
площадь параллелограмма равна:
ЗАДАНИЕ N 12
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Норма вектора в евклидовом пространстве
Если
и
–
ортогональные векторы из евклидова
пространства со стандартным скалярным
произведением, такие что
то
норма вектора
равна …
|
|
|
5 |
|
|
|
25 |
|
|
|
1 |
|
|
|
– 1 |
Решение:
Так
как
то
и
ЗАДАНИЕ
N 13
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Градиент скалярного поля
Модуль
градиента скалярного поля
в
точке
равен …
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 14
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
является
точкой разрыва функции …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Точку
называют
точкой разрыва функции
если
она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данных функций являются точки, в которых
знаменатель равен нулю, то есть
или:
Точка
:
не
является точкой разрыва функции
так
как область определения функции
имеет
вид
и
не
является точкой разрыва функции
так
как область определения функции
имеет
вид
и
не
является точкой разрыва функции
так
как область определения функции
имеет
вид
и
Таким
образом, точка
является
точкой разрыва функции
ЗАДАНИЕ N 15
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
4,5 |
|
|
|
5,5 |
|
|
|
10,5 |
|
|
|
7,5 |
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
где
Тогда
ЗАДАНИЕ N 16
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Основные методы интегрирования
Множество
первообразных функции
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Чтобы
определить множество первообразных,
вычислим неопределенный интеграл от
этой функции. Тогда
Произведем
замену
ЗАДАНИЕ N 17
отправить
сообщение разработчикам
Тема:
Дифференциальное исчисление
ФНП
Приближенное
значение функции
в
точке
вычисленное
с помощью полного дифференциала, равно …