37. Основные свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность функции.

1. Теорема об устойчивости знака непрерывности ф-ии.

Пусть ф-ия f(x)непрерывна в точке х0 и f(x0)0. Тогда существуют δ>0 такое чтофункция имеет тот же знак, что иf(x)

2. !-ая теорема Больцано - Коши.

Пусть ф-ия f(x)непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка имеет значение разных знаков. Тогда существует точка С(а;в) в которойf(с)= 0.

3. 2-ая теорема Больцано - Коши.

Пусть ф-ия непрерывна на , причёмf(a)=A ,F(b)=B. Пусть далее С-любое число заключённое между А и В , тогда на найдётся точка С, такая чтоf(c)=C.

Следствие. Если функция Y=f(x) определена и непрерывна на некотором промежутке Х , то множество её значений У также представляет собой некоторый промежуток.

4. Об ограниченности непрерывной функции на отрезке

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

5. Сумма, произведение, частное двух непрерывных ф-ий есть непрерывная ф-ия ( для частного за исключением тех значений аргумента в которых делитель =0)

6. Пусть ф-ия z=

непрерывна в точке х, а ф-ия у=f(z) непрерывна в точке z, тогда сложная функция Y=Fнепрерывна в точке х.

7) О непрерывности обратной функции.

Пусть ф-ия y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У- множество её значений. Тогда на множестве У обратная ф-ия х=у) однозначно строго монотонна и непрерывна.

Равномерная непрерывность ф-ии.

Ф-ия f(x) наз. равномерно-непрерывной на промежутке Х, если >0 существует δ>0 такое чтоудовлетворяющих неравенству<δ выполняется неравенство

f(.

Теорема Кантора. Если ф-ия f(x) непрерывна на , то она и равномерно непрерывна на нём.

38. Определение производной ф-ии в точке.

Производной ф-ией y=f(x) в точке хназ. предел прих0 отношния приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при услови что этот предел существует)

Обозначение:.

По определению =lim.

Ф-ия , имеющая производную в каждой точке интервала (а,в) наз. дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной ф-ии наз. дифференцированием.

Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.

39.Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а;b) и пусть т. М соответствует значению аргумента x₀, а т. Р – значению x₀ +x. Проведем через т. М и Р прямую и наз. Её секущей, обозначим через x) угол между секущей и осью Оx (рис.1). f(x)=f₀, то прямую с угловым коэффициентов k=f₀, проходит через т. М с координатами (x₀;f(x₀)) наз. предельным положением секущей МР при x0. Касат. S к графику ф-ции y=f (x) в т.М наз. предельное положение секущей МР при х0 или при РМ. Из определения,что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел. Причемlim=углу наклона касательной к оси Ох, рассмотрим МNP;tg f(x)=существует предел и левой частиf(=arctg f^/(x₀), а это значит, что существует касательная к графику ф-ции у=f(x) в т. М(х₀;f(x₀)), причем угол наклона этой касательной и оси Ох равенarctg f^/(x₀). В этом закл. геом. смысл производной: производная f^/(x) в т.х₀ равна угловому коэф. касат. к графику функции у=f(x) в точке абсциссы который равен х₀. Итак если точка касания М имеет координаты (х₀;у₀) то угловой коэф. k=f^/(x₀). Пользуясь уравнением прямой проходящей через заданную точку у-у₀=k(x-x₀) можно записать уравнение у-у₀=f^/(x₀)(x-x₀). Определение: прямая касательной в точке касания наз. нормалью к кривой; т.к. нормалькасательной то её угл. коэфф. равенk=-=- . Поэтому уравнение нормалей имеет вид у-у₀=-, еслиf^/(x₀)=0 (рис.2).

40.Предположим у=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. у=f(x) есть путь пройденный т.М от начала отсчёта за время х, тогда за время х₀ т.М пройдет путь у=f(x₀), а за время х₁ путь у=f(x₁). За промежуток времени х= х₁ –х₀ т. М пройдет отрезок пути у=f(x₁)-(f₀)

-средняя скорость движения точки за время х. А предел отношенияприх0 определяет мгновенную скорость в точки.V_мгн=, т.е. скорость движения точки в момент времени есть производная от пути по времени. В этом состоит физический смысл производной.

41.Пусть ф-ция U=U(t) выражает кол-во произведенной продукции и за время U за время t и необходимо найти производительность труда в момент t₀. За период времени от t₀ до t₀₊ t кол-во произвед. продукции изменится от значения U₀ =U(t₀) до знач. U₀₊U₌ U(t₀₊t), тогда средняя производительность труда за этот период времени Z_ср=. Очевидно что производительность труда в моментt₀ можно определить как предельное значение средней произв. За период времени от t₀ до t₀+t, при t0, т.е. Z=Z_ср=. Из Этой задачи следует, что произв. объема произведенной продукции по времени есть произв. труда в момент времениt₀. Это одно из понятий иллюстрирующее эконом. смысл производ.

43

Правила дифференцирования.

Теорема: Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связанного с определенными трудностями на практике дифференцирование функций осуществляется с помощью ряда правил и формул.

Доказательство: Пусть функция U=U(x) и V=V(x) – дифференцируемая в некотором отрезке (А,В) функции, тогда для этих функций имеют теоремы (U+\-V)=U'+\-V'

Используя определение: f(x+Δx)=f(x)+Δx, Δf=f(x-Δx)-f(x)

(U+\-V)=Lim[U(x+Δx)+\-V(x+Δx)-(U(x)+\-V(x))] / Δx {при Δх0}=Lim[[U(x+Δx)-U(x)]/Δx +\- [V(x+Δx)-V(x)]/Δx] {при Δх0} = LimΔU/Δx+LimΔV/Δx{при Δx0}=U'+\-V'.

Замечание: Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема: (U*V)' = U'*V+\-V'*U

Доказательство: (U*V)'=Lim[U(x+Δx)*V(x+Δx)-U(x)*V(x)]/Δx{при Δх0}=Lim[(U(x)+ΔU)*(V(x)+ΔV-U(x)*V(x))]/Δx{при Δx0}=Lim[U(x)*V(x)+U(x)*ΔV+ΔU*V(x)+ΔU*ΔV-U(x)*V(x)]/Δx{при Δx0}=LimU(x)*(ΔV/Δx){при Δx0}+LimV(x)*(ΔU/Δx){при Δx0}+LimΔU*(ΔV/Δx){при Δx0}=U'*V+V'*U

Следствие: f(C-U)'=C-U; C=const

(U*V*W)'=U '*V*W+V '*U*W+W '*U*V

Теорема: (U/V)'=(U'*V-V'*U)/V²

Доказательство: (U/V)’=Lim[[U(x+Δx)/V(x+Δx)] -U(x)/V(x)]/Δx{при Δx0}= Lim[[U(x)+ΔU)/V(x)+ΔV)] -U(x)/V(x)]/Δx{при Δx0}=Lim[V(x)*(U(x)+ΔU)-U(x)*(V(x)+ΔV)]/[(V(x)+ΔV)*V(x)*Δx] {при Δx0}=Lim[V(x)*ΔU-U(x)*ΔV]/[Δx*(V(x)+ΔV)*V(x)] {при Δx0}=Lim[V(x)*ΔU]/[Δx*(V(x)+ΔV)*V(x)] {при Δx0} =Lim[(ΔU/ΔV)*V(x)]/[V²(x)+V(x)*ΔV]{при Δx0}-Lim[(U(x)*ΔV)*(V²(x)+V(x)*ΔV)]/Δx{при Δx0}=V(x)*Lim[ΔU*(V²+V*ΔV)]/Δx{при Δx0}-U(x)Lim[ΔV*(V²+V*ΔV)]/Δx{при Δx0}= (U'*V)/V²-(V'*U)/V²=(U'*V-V'*U)/V².

Следствие: 1) (U/С)'=U'/C: 2)(C/V)'=-(С*V'/V²)

44.

Производная сложной и обратной функции.

Пусть даны две функции Y=f(U) и U=(x), тогда Y=f((x)) – сложная функция с промежуточным аргументом (функцией U=(x)) и независимым аргументом х.

Теорема: Если функция U=(x) имеет производную Ux' в точке х, а функция Y=f(x) имеет производную Yx' в соответствующей точке Y=(x), то сложная функция Y=f((x)) имеет производную Yx' в точке х и справедливы формулы Yx'=Y'*U'.

Доказательство: (см)

Примечание: Таким образом для нахождения производной сложной функции надо производную этой функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Пусть Y=f(x) – взаимообратная функция x=(x).

Обратная теорема: Если функция Y=f(x) – строго монотонна на отрезке (а,в) и имеет в производной точку f '(x)0, то обратная ей функция x=(Y) имеет производную  '(Y) в соответствующей точке. Причем: '(Y)=1/f '(x) или Xy '=1/Yx '

Доказательство: (см)

Примечание: Таким образом функция равна обратной величине производной данной функции.

Правила дифференцирования обратной функции:

Yx '=1/Xy ' или dY/dX=1/(dX/dY)

45

Таблица производных основных элементарных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

46

Дифференцирование неявных функций.

Если зависимость между аргументом х и функцией у задано уравнением у=f(х), то есть урав-

нением которое разрешено относительно у, то у называется Явной функцией от аргумента х.

Если же зависимость между переменными х и у заданную уравнением f(x,y)=0, которое неразрешимо относительно функции у, то у называется Неявной функцией.

47

Логарифмическое дифференцирование. Производная сложно-показательной функции.

Пусть требуеся найти у' функции у=(x).

Если f(x) есть выражение удобное для логарифмирования, то во многих случаях целесообразно сначала прологарифмировать по основанию е обе части равенства и затем только дифференцировать.

Производная от логарифмической функции у, т.е. (lny)'=(1/у)*у' – азывается логарифмической производной функции у. Дифференцирование основанное на предворительном нахождении логарифмической производной (lnx)' и затем искомой производной у' называется логарифмическим дифференцированием.

Функция вида , называется сложно-показательной. (U=U(x), V=V(x))

Производные таких функций можно найти лишь способом логарифмического дифференцирования.

Найдем производную функции :

1. Логарифмируем обе части равенства: lny=ln lny=V*lnU

2. Дифференцируем: (1/y)*у'=(V*lnU)' у'/у=V'*lnU+V*(lnU)' у'/у=V'*lnU+V*(1/U)*U'

3. у'=y*(V'*lnU+V*(U'/U))

'= *(V'*lnU+V*(1/U)*U')

()'=*V'*lnU+V**U'

Производная сложно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии, что U=const и производной степенной функции, при V=const.

48

Дифференциал функции.

Определение дифференциала функции: Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х по определению производной lim(Δy/Δx)=y'{при Δх0}

Отсюда по теореме «о связи функции, ее предела и б.м. функции»

Limf(x)=A{при хх0}f(x)+=A,0 и x0

Δy/Δx=y'+,где 0 и Δх0

Δу=Δх*у'+Δх* (11.1.1)

Из равенства (11.1.1) видно, что произведение функции состоит из двух слагаемых, первое из которого у*Δх – является главной частью приращения функции Δу.

Главная часть приращения функции пропорциональна приращению аргумента Δх и как говорят линейно относительно Δх.

Определение: Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная часть приращения функции. Дифференциал dy равен произведению производной у' на приращение аргумента, на Δх

dy=у'*Δх (11.1.2)

Дифференциал dy называют так же дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у=х равен dy=dx=x*Δx=Δx  dx=Δx

Поэтому формулу (11.1.2) можно записать dy=y'*dx. Из этой формулы можно получить dy/dx=y', т.е. обозначение производной dy/dx можно рассматривать, как отношение дифференциала dy к dx.

49

Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим график функции у=f(x). Проведем к графику в точке М(х,у) касательную МТ. Рассмотрим ординату этой касательной для точки х+Δх

На рисунке МN=Δх, M1N=Δy

Рассмотрим треугольник MPNtg=PN/MNPN=MN*tgPN=tg*Δxtg=f '(х)

Поэтому PN=f '(x)*Δx

Но по формуле dy=f '(х)*Δх PN=dyДифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной графику функции этой функции.

50

Правила и формулы нахождения дифференциала функции.

Т.к. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, то задача нахождения дифференциала функции сводиться к нахождению соответствующей производной.  Что бы найти дифференциал данной функции достаточно найти ее производную и полученное выражение умножить на дифференциал независимой переменной.

Определим дифференциал сложной функции. Пусть у=f(U), U=(x).

Рассмотрим сложную функцию у=f((x)). По теореме «о производной сложной функции» Ух'=Yu'*Ux'. Умножим обе части этого равенства на dx : Yx'*dx=Yu'*Ux'*dx

Т.к. Yx'*dx=dy и Ux'*dx=dU, Заключаем, что dy=Yu'*dU

Итак дифференциал функции выражается одной и той же формулой, как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Таким образом дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, где аргумент может быть и независимой переменной.

Это свойство называется Инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

При этом следует иметь в виду, что в формуле dy=y'*dx, dx совпадает с Δх

dy=Yu'*dU; dUΔU, т.к. U(x)

C помощью связи дифференциала и производной функции dy=f '(x)*dx, соответствующих теореме «о производных и свойства дифференциала». Таблица производных легко преобразуется в таблицу дифференциалов.

51

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Приращение Δу функции у=f(x) состоит из двух слагаемых Δу=f '(х)*Δх+*Δх, где 0, при х0. Т.к. главная часть приращения есть дифференциал dy=f '*Δх, то можно записать, что Δу=dy+*Δx.

Отбрасывая б.м. *Δх более высокого порядка, чем Δх, получим приближенное равенство: Δуdy, т.к. Δу=f(x+Δx)-f(x)dy=f '(x)*Δх

то получим: f(x+Δx)f '(x)*Δx-f(x)

Эта формула используется для вычисления приближенного значения, степень точности получаемого результата от Δх, причем это равенство тем точнее, чем меньше dx.

52

Дифференцирование функций заданных параметрически.

Часто зависимость между переменными х и у задается параметрическими уравнениями:

х=(t)

y=g(t), где t – вспомогательная переменная называемая параметром.

Если функция (t) и g(t) дифференцировались и '(t)0, то производная dy/dx от функции у по аргументу х может быть найдена, как отношение дифференциалов dy и dx, т.к. dy=g'(t)*dt, и dy/dx=(g'(t)*dt)/('(t)*dt)=(dy/dt)/(dx/dt)=Yt'/Xt', то есть dy/dx=Yt'/Xt'

53

Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируемая на некотором промежутке. Производная у'=f '(х) называется производной 1-го порядка и представляет собой так же функцию от х.

Производная от производной 1-го порядка – называется производной 2-го порядка от функции у=f(x) и обозначается у'', или f ''(х), или d ²y/dx², (d/dx)*(dy/dx), dy'/dx. Таким образом, у''=(у')'. Аналогично от производной 2-го порядка, если она существует, называется производной третьего порядка от функции у=f(x). Обобщив скажем, что производная n-го порядка от заданной функции у=f(х), если она существует, называется производной от производной (n-1)-го порядка.

Примечания: Что бы найти производную n-го порядка, надо найти все предшествующие производные до (n-1)-го порядка включительно.

Производные выше 1-го порядка называются производными высших порядков. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.

54

Формула Лейбница.

Пусть у=U*V, U=U(x), V=V(x) – некоторые функции имеющие производные любого порядка. Формула Лейбница имеет вид:

Как видно, коэффициент в формуле Лейбница то же, что и в разложении Бинома-Ньютона

55

Механический смысл производной второго порядка.

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Согласно физическому смыслу производная 1-го порядка S'=f(t)=V точка в данный момент времени S'(t)=Vмгн.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент времени t+Δt скорость точки равна V+ΔV, т.е. за промежуток времени Δt скорость измениться на величину ΔV. Отношение ΔV/Δt выражает среднее ускорение движения точки за время Δt. Предел этого отношения при Δt0 называется ускорением точки М в данный момент времени t и обозначается а=LimΔV/Δt{при Δt0}, т.е. V'=а. Т.к. V=S'(t), то a=(S'(t))'=S''(t).

Таким образом вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки S''(t)=а.

56

Производные высших порядков неявно заданных функций.

Пусть функция у=f(x) задана неявно в виде уравнения: F(x,y)=0.

Дифференцируем это уравнение по переменной х и решая затем уравнение относительно у' находим производную. Затем дифференцируем по х производную первого порядка, получим производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у'. Вместо у' подставим уже найденное значение у' и затем выразим у'' через х и у. Что бы найти производную 3-го порядка и выше, поступаем аналогично.

57

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.

Пусть функция у=f(x) задана параметрическим уравнением

x=(t)

y=g(t).

Как было рассмотрено ранее:

Yx=Yt'/Xt' …….(*)

Найдем вторую производную от этой функции по определению второй производной и (*)

Yxx''=(Yx')'=(Yx')t*Tx'=(Yx')t/Xt'. Аналогично получаем производные третьего порядка.

58

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) –дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Согласно определению дифференциала функции(dy=f '(х)*dx), есть так же функция от х, можно найти дифференциал от этой функции.

Определение: Дифференциал от дифференциала dy называется дифференциалом второго порядка функции у=f(x) и обозначается(d²y). Таким образом, по определению имеем d²y=d(dy)=(dy')*dx=(f '(x)*dx)'*dx=f ''(x)*(dx)².

Определение: Аналогично дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка(d³y).

Обобщим, получим что дифференциал n-го порядка функции у=f(х) определяется, как дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции(обозначение). Отсюда можно найти .

Замечание: Дифференциалы высших порядков (начиная со второго) свойством инвариантности не обладают, т.е. выражение для дифференциала различных порядков справедливы только в том случае, когда есть независимая переменная величина.

59

Теорема Ролля.

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируемая на отрезке (а,b) и на концах отрезка принимает одинаковое значение f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с(а,b), в которой производная f '(х) превращается в ноль, т.е. (f '(с)=0).

Доказательство: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда она достигает своего наибольшего значения М и наименьшего значения m на этом отрезке. Рассмотрим случаи:

1) Если М=m, то функция постоянна на [a,b] и следовательно f '(х)=0, (т.к. с'=0); 2) Если Mm, то функция достигает хотя бы одно из значений M или m во внутренних точках с на отрезке (a,b), т.к. f(а)=f(b).

Пусть например: 1) Функция принимает значение М в точке х=с(а,b), т.е. (Рис1) f(с)=M,тогда  х(а,b) выполняется соотношение f(c)>=f(x). Найдем производную f '(с) в точке: f '(с)=Lim[f(c+Δx)-f(c)]/Δx, т.к. f(c)>=f(x), то f(c+Δx)-f(c)<=0

• Если Δх>0(т.е. Δх0 справа от точки х=с), то [f(c+Δx)-f(c)]/Δx<=0, поэтому f '(с)<=0

• Если Δх<0, то [f(c+Δx)-f(c)]/Δx>=0, то f '(с)>=0. Таким образом, получим, что f '(c)<=0 и f '(с)>=0| f '(с)=0

2. Если f(с)=m, доказательство аналогично.

Примечание: Геометрически Теорема Ролля означает, что на графике функции y=f(x) найдется точка в которой касательная к графику параллельна оси ох (см. Рис1 и Рис2), (на Рис3 таких точек 2-е).

№60 Теорема Коши

Если y=f(x) и φ(х) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на (a;b), причем , то найдется хотя бы одна точкатакая, что:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

φ (a)≠φ(b) по теореме Ролля, следовательно:

φ(b)- φ (a) ≠0

Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет всем условиям т. Ролля: она непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), наконцах интервала f(a)=f(b)=0.

На основании т. Ролля найдется точка , такая, что

Следовательно:

что и требовалось доказать.

№61 Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.

Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка , такая, чтоf(b)-f(a)=f ^I(c)(b-a)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Положим в т. Коши φ(x)=x

Подставим эти значения в формулу:

Что и требовалось доказать.

Геометрический смысл т. Лагранжа:

Отношение f(b)-f(a) / b-a есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f ^I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

СЛЕДСТВИЕ:

Если, производная функции yⁱ=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.

Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.

№62. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Если

То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x₀ удовлетворяющую всем условиям т. Коши.

Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

при условии, что предел правой части равенства существует.

Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:

• Аргумент x стремится к бесконечности

• Если отношение производных f ^I и φⁱ при x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.

При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.

№63 Признак возрастания и убывания функции.

Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и , то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Исследование ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x³-6x²-9x+1

1. D(f): (+∞;-∞)

2. f ^I(x)=3x²-12x+9= 3(x-3)(x-1)

f ^I > 0

f ^I < 0 при х прин.(1;3)

Функция убывает на (1;3)

№64 Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка x₀ наз-ся точкой max, если при любом х из некоторой δ-окрестности если выполняется неравенство: f(x) < f((x₀) при x≠x₀.

Точка x₀ наз-ся точкой min, если при любом х из некоторой δ-окрестности точки x₀ выполняется неравенство: f(x) > f((x₀) при x≠x₀.

Максимум(минимум) функции наз-ся экстремумом поскольку понятие экстремума связано с определением окрестности точки и Области Определения Функции то функция может иметь экстремум только во внутренних точках ОДЗ. Очевидно также, что функция может иметь несколько точек экстремума.

Необходимое условие экстремума:

Если функция f(x) имеет в точке х₀ экстремум и дифференцируема в этой точке, то f ^I(x₀)=0

Достаточное условие экстремума:

Непрерывная функция f(x) дифференцируема в δ-окрестности. Если при переходе через x­₀ (слева направо) производная f ^I меняет знак с + на – , то x₀ –есть точка max, если с – на +, то x₀ – точка min.

Исследовать функцию на экстремум это значит:

• Найти критические точки функции y=f(x) (для этого находится y^I и решается уравнение y^I=0)

• Исследовать знак производной f ^I слева и справа от каждой из выбранных критических точек.

В соответствии с достаточным условием экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

№ 65 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если y=f(x) непрерывная ф-я на [a:b], то на этом отрезке она по крайней мере 1 раз достигает наибольшего значения М и наименьшего значения m. Этих значений ф-я достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка [a;b], поэтому чтобы найти наиб. и наим. значение ф-ии y=f(x) на заданном отрезке [a;b], где она непрерывна надо:

• Найти все критические точки принадлежащие (a;b) и вычислить значения ф-ии в этих точках (не исследуя их на экстремум)

• Вычислить значения ф-ии на концах [a;b], т.е. f(a) и f(b).

• Сравнить полученные результаты в пунктах 1 и 2, наиб. из них будет наиб. а наименьшее – наименьшим значением функции н отрезке [a;b]

Нахождение наиб. и наим. значений ф-ий широко используется при решении многих практических задач в математике, физике, экономике и т. п. и др.

ПРИМЕР:

y=2x³-3x²-12x+1 на [-2;5/2]

y^I=6x²-6x-12

y^I=0

6x²-6x-12=0 |:6

x²-x-2=0

x₁=-1 и x₂=2 – критические точки

y(-1)= 8 – наибольшее.

y(2)=-19 –наименьшее.

y(-2)=-3

y(5/2)=-16.5

№66 Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если при a<x<b дуга располагается ниже касательной проведенной в любой точке (a;b).

Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на (a;b), если при a<x<b, дуга располагается выше касательной проведенной в любой точке (a;b).

Точки отделяющие выпуклую вверх часть кривой от выпуклой вниз (или наоборот) называются точками перегиба, в точках перегиба касательная пересекает кривую.