Вопрос 20.

Предел последовательности. Сходящиеся последовательности.

Определение: Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа  существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |x_n-a|<.

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.

Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Замечание 1: Пусть последовательность {x_n} имеет своим пределом число a. Тогда {_n}={x_n-a} является б.м.п-тью, т. к. для любого >0 существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |_n|=|x_n-a|<. Следовательно, любой элемент x_n последовательности, имеющей пределом число a, можно представить в виде x_n=a+_n, где _n – элемент б.м.п-ти {_n}. Очевидно, справедливо и обратное: если x_n можно представить в виде x_n=a+_n, где {_n} б.м.п-ть, то предел последовательности {x_n} ровняется a.

Замечание 2: Неравенство |x_n-a|< равносильно неравенствам -<x_n-a< или a-<x_n<a+, которые означают, что элемент x_n находится в -окрестности точки a. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом: число a называется пределом последовательности {x_n}, если для любой -окрестности точки a существует номер N такой, что все элементы x_n с номерами n>N находятся в этой -окрестности.

Замечание 3: Очевидно, что б.б.п-ть не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет бесконечный предел.

Замечание 4: Очевидно, всякая б.м.п-ть является сходящейся и имеет своим пределом число a=0.

Вопрос 23.

Число e.

Lim(1+(1/n))ⁿ=e (при n).

Число e – Неперово число, иррациональное.

e2,7218281828…

Это число принято за основание натурального логарифма: Lnx.

Вопрос 24.

Задача о непрерывном начислении процентов.

Первоначальный вклад в банк составил Q₀ (денежных единиц). Банк выплачивает ежегодно P% (годовых). Необходимо найти вклад Q_t через t лет.

При использовании простых % размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и туже величину: (P/100)*Q₀, т. е.

Q_t=Q₀(1+Pt/100) (1)

На практике значительно чаще применяются сложные %. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и тоже число раз: (1+P/100), т. е.

Q_t=Q₀(1+P/100)^t

Если начислять %-ы по вкладам не один раз в год, а n, то при ежегодном приросте t% процент начисления за 1/n-ю часть года составит P/n, а размер вклада за t лет при t*n начислении составит: Q_t=Q₀(1+P/100n)^nt (2)

Будем полагать, что проценты по вкладам начисляются непрерывно (n), тогда размер вклада за t лет составит: Q_t=Lim[Q₀(1+P/100n)^nt]=Q₀Lim[(1+P/100n)^100n/P]^Pt/100 (при n).

Или с учётом (ф-лы Lim(1+1/n)ⁿ=e (при n)) при 100n/P получим: Q_t=Q₀e^Pt/100 (3)

Эта формула (3) выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при P>0) или убывания (при P<0). Она может быть использована при непрерывном начислении процента.

Замечание: хотя практически в финансово кредитных операциях непрерывное начисление процента применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе иныистиционных решений.

20.а- наз. Приделом последовательности {xn} если для любого Е, сущ-т N такое, что n> N, то выполняется неравенство |xn- a|<C.

Пос-ть наз. Сходящейся если она имеет придел. Пос-ть не имеющая придела наз. Расходящейся. Док-ть, что xn=n+1/2n-1, имеет придел равный ½. Док-во: возьмём Е>0, надо найти такое N>0, то что для всех n>N будет выполнятся неравенство a-E<xn<a+E. В этом примере а=1/2, тогда имеем: |n+1/2n-1 – ½| <E; |2(n+1)-2(n+1)/2+2n-1|<E; |3/2(2n-1)|<E. Т.к. nEN, то величина стоящая под знаком модуля положительная. 3/2(2n-1)<E; 1/2n-1<2E/3; 2n-1>3/2E; 2n>3/2E+1. n>3/4E+1/2. В общем случаи число стоящее в правой части нер-ва n>3/4E+1/2 явл. Дробной наибольшее целое число обозначается Е(х). В этом случаи обозначим наибольшее целое число содержащиеся в этом числе: Е(3/4Е+1/2). N=E(3/4E+1/2), то при любом n>N будет выполнятся вот это нер-во: |xn-1/2|<E.

21. Постоянная пос-ть xn=C,при nEN limc=C. Для любого Е>0, nEN, выполняется нер- во |xn- a|<C. Сходящееся пос-ть имеет только один придел , допустимый что сходящееся имеет 2 придела а и b, тогда по формуле limxn=a следовательно для элементов xn получаем xn= a+ Jn и xn= b+Bn. Где Jn и Bn- элементы б.-м. Пос-тей. Прировняем a+Jn=b+Bn; Jn-Bn=b-a, т.к.все эл-ты б.-м.пос-ти Jn-Bn равны одному и тому же числу b-a , то по лемме b-a=0, b=a.

Док-во: пусть хn – сход- ся пос-ть, число а- её придел. Е>0, произвольное число N, начиная с которого выполняется нер- во |xn- a|<E, тогда n>N.|xn|= |(xn-a)+a|, |xn-a|+|a|=|a|+E.Пусть А= max {|a|+E,|x1|,|x2|,….|xn|} очевидно, что |xn|=<A, для любого n. Значит пос- ть xn- ограниченная.

22.Пос- ть xn наз. Возрастающей, если xn< xn+1, при любом n.

1.Неубывающей, xn=<xn+1

2.Убывающей, xn>xn+1

3.Не возрастающей, xn>=xn+1

Все перечисленные пос-ти называются монотонными, возрос. И убыв. – строго монотонными

Пример:

1.xn=n^2- возрастающая и неограниченная.

2.xn=1/n- убывающая и ограниченная

23.Число “e”- называется число Эймера, иррациональное его приближённое значение равно е=2, 7218…. – это число принято за основаниеln n: log по основанию е называется log n и обозначается lgx. К числу «е» приводят решение многих прикладных задач(статистики, физики, биологи и др.) анализ таких, как рост народного населения.

24.Первоначальный вклад в банк составил Q0- денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р%. Необходимо найти размер вклада Qt, через t- лет.

Решение: при использовании простых % размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину Р/100*Q0 т.е.

Q1=Q0*(1+P/100)

Q2=Q0*(1+2p/100)

Qt=Q(1+P0t/100)

На практике значительно чаще применяются сложные %. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз.

(1+Р/100) т.е.

Q1=Q0(1+P/100)

Q2=Q0(1+P/100)^2

Qt=Q0(1+P/100)^t

Если начислять % по вкладу ни один раз в году, а n раз, то при ежегодном приросте р%. % начисления за 1/n – ю часть года, при n*t составит:

Qt=Q0(1+P/100)^n*t

Эта формула выражает показательный закон роста, при р>0 или убывания, при р<0. Она может быть использована, при не прерывном начислении %.

25.Пусть ф- ция y=f(x) определена на множестве Х и пусть точка x0EX или x0E/X. Возьмём последовательность точек отличных от x0.x1; x2;x3;……xn;…… сходящуюся к x0. Значение ф- ии в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность f(x1);f(x2);….f(xn);….

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) в точке х=х0 или (при х стремя-ся х0), если для любой последовательности х1;х2;х3;….xn;…. Значений аргумента х(х=/х0), сходящийся к х0, последовательность соответствующих значений ф-ий f(x1);f(x2);….f(xn);…. Сходится к числу А.

Limf(x)=A

Последовательность{y=f(x)}имеет только один предел, поэтому ф- ия y=f(x) также может иметь в точке х0 только один предел. Геометрический смысл предела ф-ии limf(x)=A означает, что для любого х достаточно близких к точке х0 соответствующее значение ф-ии сколь угодно мало отличаются от числа А.

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) в точке х=х0 или (при х стремя-ся х0), если для любого положительного числа E>0, существует число V(дельта)>0, такое что для любого х=/х0 удовлетворяющих неравенству |x-x0|<V выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

26.В определение предела ф-ии : limf(x)=A считается , что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньше, чем х0(слева от х0), больше, чем х0 (справа от х0) или колеблясь около точки х0. Бывают случаи , когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела ф-ии. Поэтому вводят понятие односторонних пределов ф-ии.

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) слева в точке х0 если для любой сходящейся к х0 последовательности {xn} эл-ты xn к-ой меньше х0, соответствующая п-ть{y=f(x)}сходится к А.

limf(x)=A(-0)

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) справо в точке х0 если для любой сходящейся к х0 последовательности {xn} эл-ты xn к-ой больше х0, соответствующая п-ть{y=f(x)}сходится к А.

limf(x)=A(+0)

Пусть ф-ия f(x) и g(x) имеют точки х0 конечные приделы , тогда справедливы следующие теоремы :

1. lim[f(x)+-g(x)]= limf(x)+-limg(x) т.е. алгебраической сумме пределах этих ф-ий.

2. lim[f(x)*g(x)]= limf(x)* limg(x) т.е. придел произведений 2-х ф-ий равен произведению приделов этих ф-ий.

3. limf(x)/g(x)= limf(x)/ limg(x); limg(x)=/0, т.е. придел частного от деления 2-х ф-ий равен частному приделу этих ф-ий, если придел знаменателя неравен 0.

Док- во: пусть{xn};(xnнеравно x0)- произвольная сходящееся к х0 пос-ть значений аргумента ф-ий f(x) и g(x). Соответствующие пос- ти {y=f(xт)} и {g(xn)} значения этих ф-ий имеют конечные приделы , тогда в силу основных св-в пос-ти limxn=a;limyn=b,где xn=a+Jn;yn=b+Bn.

{f(xn)+-g(xn)}; {f(xn)*g(xn)}; {f(xn)/g(xn)}, где g(x) неравно 0, тогда имеем приделы равные limf(x)+-limg(x); limf(x)*limg(x); limf(x)/limg(x).

Пусть ф-ии f(x), g(x), h(x) определены в некоторой окрестности в точки О, за исключением может быть только О. Limf(x)=limh(x)=A. Пусть выполняется неравенство f(x)<=g(x)=h(x),тогда придел limg(x)=A

Док- во: пусть xn (xn =/ x0)- произвольно сходящееся к х0 по-ть значений аргумента ф-ий f(x) и h(x).Соответственно пос-ть {f(xn)} и {h(xn)} имеют конечный придел равный А, т.е. f(xn)стремится к А, h(xn)стремится к А, при n стремящегося к бесконечности. Согласно теории теоремы можно записать второе неравенство: f(x)<=g(x)<=h(x) следовательно, что g(xn)стремится к А. По определению придела ф-ии получаем, что limg(x)=A.

27.Пусть ф-ия y=f(x) определена (- беск.; + беск.)

Число А наз. Пределом ф-ии, при х стрем. К –беск если для любой б.-б. По-ти xn значений аргумента соответствующая по-ть f(xn) значений ф-ий сходится к числу А.limf(x)=A

Число А наз. Пределом ф-ии f(xn), при х стрем. К +беск если для любой б.-б. По-ти xn значений аргумента, эл-ты xn к-я положительна, соответствующая по-ть значений ф-ий сходится к числу А.

Число А наз. Пределом ф-ии f(xn), при х стрем. К -беск если для любой б.-б. По-ти xn значений аргумента, эл-ты xn к-я отрицательна, соответствующая по-ть значений ф-ий сходится к числу А.

Число А наз. Приделом ф-ии f(x), при х стрем. К беск.,если|f(x)-A|<E.

31

Бесконечно малые функции.

Определение: Функция f(x) называется б.м. в точке х= хо (или при ххо), если Limf(x)=0 (ххо)

Определение: (на языке -) Функция f(x) называется б.м. функцией в х= хо (или при ххо), если  >0   >0, такое, что  х из множества Х, х хо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<, выполняется неравенство |f(x)|< 

Определение: (На языке последовательности) Функция f(x) называется б.м. в точке х= хо (или при ххо), если  сходится к хо последовательности {xn} значений аргумента х, отличных от хо соответствия, последовательность {f(xn)} является б.м.

Теорема: Limf(x)=A(ххо) так и только так, когда (х)=f(x)-A является б.м. при ххо

Доказательство: Необходимость: 1) limf(x)=A(ххо). Нужно доказать, что (х)=f(x)-A является б.м. при ххо (lim(x)=0(ххо)). Рассмотрим разность (х)=f(x)-A

Lim(x){при хх0}=Lim[f(x)-A]{при хх0}=Limf(x){при хх0}-LimA{при хх0}=A-A=0

Таким образом Lim(x){при хх0}=0

Достаточность: 2) Пусть f(x)-A=(x), где (х) – б.м. при хх0

Нужно доказать, что Limf(x){при хх0}=A.

f(x)=A+(x)Limf(x){при хх0}=Lim(A+(x)){при хх0}=LimA{при хх0}+Lim(x){при хх0}=A+0=A

Замечание: Если Limf(x){при хх0}=A, то f(x) можно представить в виде f(x)=A+(x), где Lim(x){при хх0}=0.

Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа б.м. функций, при хх0, а так же произведение б.м. функций на ограниченную функцию являются б.м. функциями при хх0.

Доказательство: Теорема вытекает из определения предела функции по Гейне(на языке последовательности).

Замечания: Для б.м. функции при х∞, х+∞, х -∞,хх0-,хх0+

Так же справедливо все выше сказанное о б.м. функциях, прихх0.

32

Б.б. функции. Связь между б.б. и б.м. функциями.

Определение: Функция f(x) называется б.б. функцией в точке х=х0, если >0 существует число >0, такое что хХ, причем хх0 удовлетворяющих неравенству |x-x0|>.

В этом случае Limf(x){при хх0} =∞, т.е. функция ∞, при хх0.

Если выполняется неравенство f(x)>,f(x)<-, то Limf(x){при хх0} =+∞ (Limf(x){при хх0}=+∞),т.е. функция имеет в точке х=х0 бесконечный предел равный +∞(-∞).

Замечание: 1)Бесконечные односторонние пределы определяются по аналогии с конечными односторонними пределами. 2)Аналогично определяются б.б. функции при х∞, х+∞, х-∞ (заменой хх0).

Связь между б.б. и б.м. функциями (по аналогу с последовательностями): Функция обратная к б.м. является б.б. и на оборот.

33.

Сравнение б.м. и б.б. функций.

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

Пусть при хх0 функции (х) и (х) являються б.м., т.е. Lim(х){при хх0}=0 и Lim(х){при хх0}=0, тогда Правила:1)Если Lim(х)/(х){при хх0}=0, то (х) – б.м. более высокого порядка, чем (х). 2)Если Lim(x)/(х){при хх0}=А0, то (х) и(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lim(х)/(х){при хх0}=1, то (х) и (х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lim(х)/ (х){при хх0}=А0, то (х) – б.м. n-го порядка относительно (х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х∞, х+\-∞, хх0+\-. Существует аналогичное правило.

34.Эквивалентные бесконечно малые функции.

Для раскрытия неопределённостей видачасто бывает полезным применить принцип замены б. м. эквивалентными.

1.sin x~ x при х

2.tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~x

(1- cos x)~ x

e-1 ~x

a-1 ~xlna

ln(1+x)~x

log(1+x)~ xloge

(1+x)-1~kx, k>0

35.Определения непрерывности функции в точке. Условия непрерывности.

Пусть функция у=f(x) определена в точке хи в некоторой окрестности этой точки.

Определение 1. Ф-ия у=f(х) наз. непрерывной в точке х, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.limf(x)=F(x)

Определение 2. (на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке х, если для любой последовательности значений аргументасходятся к х, последовательность соответствующих значений функциисходится кf(x).

Определение 3.( на языке Е- δ) * , если для любой Е>0 существует δ>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству <δ выполняется неравенство<Е.

Т. о. Для того чтобы функция y=f(x) была непрерывна в точке х0 необходимо выполнение 3-х условий.

1)Ф-ия должна быть определена в точке х0 и в её окрестности.

2)Ф-ия должна иметь конечные и совпадающие между собой односторонние пределы lim f(x) = lim f(x) =A

x +0 x-0

3) Предел ф-ии в точке, т. е. число А должно совпадать со значением ф-ии в этой точке , т. е. должно выполнятся равенство f(x)=A

Если хотя бы одно из свойств не выполняется, то функция назыв. Разрывной в точке х=х0, а сама точка наз. Точкой разрыва ф-ии F(x).

Определение 4. Ф-ия наз. Непрерывной в точке х0, если её приращение в этой точке явл. Бесконечно малой функции при , т. е. выполняетсяlim =0

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке в которой она определена. (без док-ва),т. е. область непрерывности элементарной функции полностью совпадает с её областью определения.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Ф-ия непрерывна в интервале (а;в) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Ф-ия непрерывна на отрезке , если она непрерывна в интервале (а;в) и непрерывна в точкеа справа, а в точке в слева, т. е. lim =f(a), lim=f(b).

36.Точки разрыва функции и их классификация.

Точка х0наз. точкой разрыва ф-ии f(x), если ф-ия в этой точке не явл. непрерывной.

Определение 1. Т. хназ. т. разрыва первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но онине равны между собой.

Limf(x)limf(x).

При этом величину наз. скачком ф-ии в точке разрыва первого рода.

Примечание. Если Limf(x)= limf(x), то точка хназ. точкой устранимого разрыва. В этом случае для устранения разрыва доопределяют ф-ию в точке хи принимают, чтоf(x)= Limf(x)= limf(x).

Определение 2. Точкой х0 наз. т. разрыва второго рода , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.