Вопрос 19.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, и их свойства.

Определение 1: последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |x_n|>A.

Замечание: Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Определение 2: последовательность {_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа  существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |_n|<.

Теорема 2.1: Если {x_n} – бесконечно большая последовательность и все её члены отличны от нуля, то последовательность {1/x_n} бесконечно малая, и, обратно, {_n} – бесконечно малая последовательность и _n0, то последовательность {1/_n} – бесконечно большая.

Доказательство: Пусть {x_n} – б. б. п. Возьмём >0 и положим A=1/. Согласно определению 1 для этого A существует номер N такой, что при n>N будет |x_n|>A. Отсюда получаем, что |1/x_n|=1/|x_n|<1/A= для всех n>N. А это значит, что последовательность {1/x_n} – бесконечно малая.

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 2.2: Сумма и разность двух б. м. п. есть бесконечно малые последовательности.

Доказательство: Пусть {_n} и {_n} – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {_n_n} бесконечно малая. Пусть  - произвольное положительное число, N₁ – номер, начиная с которого |_n|</2, а N₂ – номер, начиная с которого |_n|</2. (Такие номера N₁ и N₂ найдутся по определению бесконечно малой последовательности). Возьмём N=max{N₁,N₂}; тогда при n>N будут одновременно выполняться два неравенства: |_n|</2, |_n|</2. Следовательно при n>N |_n_n||_n|+|_n|</2+/2=. Это значит, что последовательность {_n_n} бесконечно малая.

Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2.3: Произведение б.м.п-тей есть б.м.п-ть.

Доказательство: Пусть {_n} и {_n} – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {_n*_n} бесконечно малая. Т. к. {_n} – б.м.п., то для любого >0 существует номер N₁ такой, что |_n|<, при n>N₁, а так как {_n} также б.м.п., то для =1 существует номер N₂ такой, что |_n|<1 при n>N₂. Возьмём N=max{N₁,N₂}; тогда при n>N будут выполняться оба неравенства. Следовательно, при n>N |_n*_n|=|_n|*|_n|<*1=. Это означает, что последовательность {_n*_n} бесконечно малая.

Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание: Частное двух б.м.п-тей может не быть б.м.п-тью и может даже не иметь смысла.

Теорема 2.4: Произведение ограниченной последовательности на б.м.п-ть есть б.м.п-ть.

Доказательство: пусть {x_n} – ограниченная, а {_n} – б.м. п-ти. Требуется доказать, что последовательность {x_n*_n} бесконечно малая. Т. к. последовательность {x_n} – ограничена, то существует число A>0 такое, что любой элемент x_n удовлетворяет неравенству |x_n|A. Возьмём любое >0. Поскольку последовательность {_n} – бесконечно малая, для положительного числа /A существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |_n|</A. Следовательно при n>N |x_n*_n|=|x_n|*|_n|<A*/A=. Это значит, что последовательность {x_n*_n} бесконечно малая.

Следствие: Произведение б.м.п-ти на число есть б.м.п-ть.