Вопрос 5.

Геометрическая интерпретация к/ч в алгебраической форме.

К/число z = a+bi изображается на плоскости Oxy точкой M(a;b) или радиусом вектором OM проекции которого на оси Ox и Oy соответственно равны a и b.

Плоскость Oxy в этом случае называется условно комплексной плоскостью.

К/ч (a;0) отождествляется с действительным числом a. На к/плоскости действительные числа изображаются точками на оси Ox, которая называется действительной осью.

К/ч (a;b); b0 называется мнимым, а при a=0 – чисто мнимым.

Чисто мнимые числа на к/плоскости изображаются точками на оси Oy, которая называется мнимой осью.

Если z иz сопряжённые числа, то числоz изображается на к/плоскости точкой, симметричной точке z относительно оси Ox.

Замечание: понятия «больше» или «меньше» для к/чисел не определяются. Записи z>0; i>2; 1+i>2 и т. п. Лишены всякого смысла.

Вопрос 6.

Тригонометрическая форма к/числа.

К/число не равное нулю изображается на к/плоскости радиусом вектором OM.

Длина этого вектора есть модуль к/числа (r).

r = a² + b² (2.3.1)

Угол  между положительным направлением оси Ox и вектором OM называется аргументом к/числа z = a+bi. j = arg(z).

Заметим, что угол считается положительным, если отсчёт ведётся против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчёт проводится по часовой стрелке.

Если к/ч равно нулю, то вектор OM обращается в точку (нуль вектор) и говорить о его направлении нет смысла.

Очевидно, что к/число не равное нулю имеет бесконечное множество значений аргумента. Эти значения отличаются друг от друга на любое целое число полных оборотов, т. е. на 2k, kZ. Значение аргумента, взятое в пределах первой окружности, т. е. 02, называется главным.

Заметим, что аргумент к/числа равного нулю не определён, а его модуль равен нулю.

Рассмотрим треугольник OMM₁:

Cos = a/r  a = r*Cos (2.3.2)

Sin = b/r  b = r*Sin (2.3.3)

Подставим полученные равенства в алгебраическую форму записи к/числа:

z = a+bi = r*Cos+r*i*Sin = r(Cos+i*Sin).

Полученное выражение называется тригонометрической формой к/числа.

Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической:

1. Найти модуль к/ч по формуле 2.3.1

2. Определить четверть в которой находится угол j. Для этого удобнее всего изобразить к/ч на к/плоскости.

3. Найти угол j из любого соотношения (2.3.2) или (2.3.3), решив простейшее тригонометрическое уравнение.

4. Подставить найденные значения r и j в тригонометрическую формулу к/числа.

Замечание: угол j можно найти из уравнения tgj = b/a, если a0.

Вопрос 7.

Действия над к/числами в тригонометрической форме.

С помощью тригонометрической формы удобно выполнять умножение, деление, возведение в степень к/ч и извлечение корня n-ой степени (при n>0).

Пусть даны два числа:

z₁ = r₁(Cosj₁+iSinj₁)

z₂ = r₂(Cosj₂+iSinj₂)

Тогда формулы для произведения и частного этих чисел будут иметь вид:

1. z₁*z₂ = r₁r₂(Cos(j₁+j₂)+iSin(j₁+j₂)) (2.5.1)

2. z₁/z₂ = (r₁/r₂)(Cos(j₁-j₂)+iSin(j₁-j₂)) (2.5.2)

3. Т. к. при возведении к/ч z = r(Cosj+iSinj) в степень n, где n – целое положительное число, перемножается n равных сомножителей, то по правилу умножения к/ч получим: zⁿ = rⁿ(Cosnj+iSinnj) (2.5.3). Если r=1, то получим формулу: zⁿ = Cosnj+iSinnj (2.5.3⁰), которая называется формулой Муавра.

Примечание: формула Муавра справедлива и для отрицательных целых показателей:

z^-n = (z^-1)ⁿ = (1/z)ⁿ = (1/(Cosnj+iSinnj))ⁿ

4. Извлечение корня степени n. Пусть требуется извлеч корень n-ой степени из к/ч z = r(Cosj+iSinj), это значит, что нужно найти такое к/ч  = R(Cos+iSin), которое при возведении в n-ую степень даст число z, т. е.

[R(Cos+iSin)]ⁿ = r(Cosj+iSinj)

Rⁿ(Cosn+iSinn) = r(Cosj+iSinj)

Rⁿ = r; n = j+2k

R = ⁿr

 = (j+2k)/n, где k = 0,1,…,n-1

Т. о. результат извлечения корня n-ой степени имеет вид:

ⁿz = ⁿr(Cos((j+2k)/n)+iSin((j+2k)/n) (2.5.4)